Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường tròn \[[C_1],[C_2]\] lần lượt có phương trình:
\[\eqalign{
& \left[ {{C_1}} \right]:{x^2} + {y^2} - 4x + 5y + 1 = 0 \cr
& \left[ {{C_2}} \right]:{x^2} + {y^2} + 10y - 5 = 0 \cr} \]
Viết phương trình ảnh của mỗi đường tròn trên qua phép đối xứng có trục Oy
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\eqalign{
& {x^2} + {y^2} - 4x + 5y + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y + {5 \over 2}} \right]^2} = {{37} \over 4} \cr} \]
\[[C_1]\]có tâm \[{I_1}\left[ {2; - {5 \over 2}} \right]\] và bán kính \[{R_1} = {{\sqrt {37} } \over 2}\]
Gọi \[I'_1\]là ảnh của \[I_1\]qua phép đối xứng có trục Oy thì \[I{'_1}\left[ { - 2; - {5 \over 2}} \right]\]
Vậy phương trình ảnh \[[C'_1]\]của \[[C_1]\]qua phép đối xứng trục Oy là:
\[\eqalign{
& {\left[ {x + 2} \right]^2} + \left[ {y + {5 \over 2}} \right] = {{37} \over 4} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4x + 5y + 1 = 0 \cr} \]
Lại có:
\[\begin{array}{l}
\left[ {{C_2}} \right]:{x^2} + {y^2} + 10y - 5 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + {\left[ {y + 5} \right]^2} = 30
\end{array}\]
\[[C_2]\]có tâm \[{I_2}\left[ {0;-5} \right]\] và bán kính \[{R_2} = \sqrt {30}\]
Gọi \[I'_2\]là ảnh của \[I_2\]qua phép đối xứng có trục Oy thì \[I{'_2}\left[ { 0; - 5} \right]\] trùng với\[I_2\].
Vậy phương trình ảnh \[[C'_2]\]của \[[C_2]\]qua phép đối xứng trục Oy là chính \[\left[ {{C_2}} \right]:{x^2} + {y^2} + 10y - 5 = 0\].