Điều kiện để phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm
|
1. Các kiến thức cần nhớ Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn +) Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ax + by = c$ Trong đó $a,b,c$ là những số cho trước $a \ne $$0$ hoặc $b \ne 0$ . - Nếu các số thực ${x_0},\,{y_0}$ thỏa mãn $ax + by = c$ thì cặp số $({x_0},\,{y_0})$ được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$. - Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , mỗi nghiệm $({x_0},\,{y_0})$ của phương trình $ax + by = c$ được biểu diễn bới điểm có tọa độ $({x_0},\,{y_0})$.
Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng $d:ax + by = c.$ +) Nếu $a \ne 0$ và $b = 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{c}{a}\\y \in R\end{array} \right.$ và đường thẳng $d$ song song hoặc trùng với trục tung. +) Nếu $a = 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$ và đường thẳng $d$ song song hoặc trùng với trục hoành. +) Nếu $a \ne 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$ và đường thẳng $d$ là đồ thị hàm số $y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$ 2. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn. Phương pháp: Nếu cặp số thực $({x_0},\,{y_0})$thỏa mãn $ax + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$. Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ. Phương pháp: Xét phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$. 1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn $x$ theo $y$ ( hoặc $y$ theo $x$) rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát. 2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình $ax + by = c$. Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng $ax + by = c$ thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này: 1. Nếu \(a \ne 0\) và \(b = 0\) thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:x = \dfrac{c}{a}$. Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Oy$ . 2. Nếu \(a = 0\) và \(b \ne 0\) thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:y = \dfrac{c}{b}$. Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Ox$ . 3. Đường thẳng $d:ax + by = c$ đi qua điểm $M({x_0},\,{y_0})$ khi và chỉ khi $a{x_0} + b{y_0} = c$. Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp: Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$, ta làm như sau: Cách 1: Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩnBước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$ ) theo ẩn kia.Bước 3: Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của $x$ Bước 4: Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của $x$ bằng một số nguyên \(t\), ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và \(t\) - Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.
Ví dụ 17. Cho hệ phương trình
a) Không giải hệ phương trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất. b) Giải và biện luận hệ phương trình trên. Giải a) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ab’ – a’b ≠ 0 <=> 1.1 – m.m ≠ 0 <=> 1 – ≠ 0 <=> m ≠ ± 1. Với m ≠ ± 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất. b) Rút x từ (1) ta được x = m + 1 – my. Thay biểu thức của x vào (2) : m(m + 1 – my) + y = 3m – 1 <=> +m – y + y = 3m – 1 <=> y – y = + 2m – 1 <=> (1 – )y = . Nếu m ≠ ± 1 thì
Nếu m = 1 thì hệ phương trình đã cho trở thành Nếu m = -1 thì hệ đã cho trở thành
Kết luận : – Nếu m ≠ ± 1, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất – Nếu m = 1, hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm ; x bất kì, y = 2 – x. – Nếu m = -1, hệ phương trình đã cho vô nghiệm. BÀI TẬP 80. Giải các hệ phương trình:
81. Cho hệ phương trình:
Xác định các hệ số a và b để hệ phương trình có nghiệm x = 3, y = -2. 82. Cho hai đường thẳng: 2x – y = -6 và x + y = 3. a) Tìm toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng. b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A và B. Tính diện tích tam giác MAB. 83. Lập phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 2x – 3y = 8 ; 5x + 4y = -3 và song song với đường thẳng y = 2x – 1. 84. Xác định các hệ số a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm M(3 ; 5) và N(-1 ; -7). Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng vừa tìm được với các trục toạ độ. 85. Xác định giá trị của a để các đường thẳng sau đồng quy : y = ax, y = 3x – 10 và 2x + 3y = -8. 86. Cho ba điểm A(3 ; 5), B(-1 ; -7), C(1 ; -1). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng. 87. Cho bốn điểm A(-1 ; 1), B(3 ; 2), C(2 ; -1), D(-2 ; -2). a) Lập phương trình các đường thẳng AB, BC, CD, DA. b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành. 88. Tìm giá trị của a để hệ phương trình sau có nghiệm dương :
89. Tìm giá trị của m để giao điểm của hai đường thẳng mx – y = 2, 3x + my = 5 nằm trong góc vuông phần tư IV. (Các góc vuông phần tư I, II, III, IV được kí hiệu như trên hình 3).
Hình 3 90. Tìm giá trị nguyên của m để giao điểm của các đường thẳng mx – 2y = 3 và 3x + my = 4 nằm trong góc vuông phần tư IV. 91. Giải và biện luận hệ phương trình
92. Tìm giá trị của m để hệ phương trình
vô nghiệm, vô số nghiệm. 93. Tìm giá trị của m để các đường thẳng (d1) : mx + (m – 1)y = 3m + 4 (d2) : 2mx + (m+ 1)y = m- 4 a) Cắt nhau ; b) Song song ; c) Trùng nhau. 94. Giải hệ phương trình:
95. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình : a) (3x – y)(5x + 3y) =11; b) (x + 2y)(3x + 4y) = 96. 96*. Viết số 100 thành tổng các số nguyên dương liên tiếp. 97*. Viết số 117 thành tổng các số nguyên dương lẻ liên tiếp. Giải các hệ phương trình (từ bài 98 đến 108) :
Xem hướng dẫn giải tại đây. Related |
