Giải bài tập toán 12 bài 1 trang 43 năm 2024
Giải: Câu a: Xét hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\) Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Sự biến thiên: Đạo hàm: \(y' = 3- 3x^2\) . Ta có: \(y' = 0 ⇔ x = ± 1\) . Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\), giá trị cực đại \(y\)CĐ=\(y(1)=4\), đạt cực tiểu tại \(x=-1\) và \(y\)CT=\(y(-1)=0\). Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\) Bảng biến thiên: Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại các điểm \((2;0)\) và \((-1;0)\), cắt \(Oy\) tại điểm \((0;2)\). Đồ thị: Ta có: \(y''=6x\); \(y''=0 ⇔ x=0\). Với \(x=0\) ta có \(y=2\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm \(I(0;2)\) làm tâm đối xứng. Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ \(x=-2\) suy ra \(y=4\). Câu b: Xét hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\) Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Sự biến thiên: Đạo hàm: \(y' = 3x^2+ 8x + 4\). \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - 2; - \frac{2}{3}} \right).\) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), giá trị cực đại \(y\)cđ = \(y(-2) = 0\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\frac{2}{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y\left ( -\frac{2}{3} \right )=-\frac{32}{27}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\). Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;0)\), cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: \({x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0\) hoặc \(x=-2\) nên tọa độ các giao điểm là \((0;0)\) và \((-2;0)\). Đồ thị hàm số: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: \(y''=6x+8;\)\(y''=0\Leftrightarrow x=-\frac{4}{3}\Rightarrow y=-\frac{16}{27}.\) Câu c: Xét hàm số \(\small y = x^3 + x^2+ 9x\) Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Sự biến thiên: Đạo hàm: \(y' = 3x^2+ 2x + 9 > 0, ∀x\). Vậy hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị. Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\). Bảng biến thiên : Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại điểm \((0;0)\), cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;0)\). Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(y''=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔\) \(x=-\frac{1}{3}.\) Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: \(I\left ( -\frac{1}{3};-\frac{79}{27} \right ).\) Lúc này ta vẫn chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm có hoành độ cách đều hoành độ \(x_1\) và \(x_2\) sao cho \(\left| {{x_1} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right| = \left| {{x_2} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right|\), khi đó hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn các điểm \((-1;-9)\) và \(\left ( \frac{1}{2};\frac{39}{8} \right ).\) Câu d: Xét hàm số \(y=-2x^3+5\) Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Sự biến thiên: Đạo hàm: \(y' = -6x^2≤ 0, ∀x\). Vậy hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb R\). Hàm số không có cực trị. Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty\) Bảng biến thiên: Đồ thị: Tính đối xứng: \(y''=-12x; y''=0 ⇔ x=0\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn \(I(0;5)\) làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;5)\), đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( {\sqrt[3]{{\frac{5}{2}}};0} \right).\) Bài 2 trang 43 sách sgk giải tích 12 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
Giải:
Sự biến thiên: \(y' =-4x^3+ 16x = -4x(x^2- 4)\); \( y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±2\) . - Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-2)\) và \((0;2)\); nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\) và \(2;+\infty)\). - Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm \(x=-2\) và \(x=2\); \(y_{CĐ}=y(\pm 2)=15\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=-1\) - Giới hạn: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}} - }} = - \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}} + }} = + \infty \), \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - {1 \over 2}\) |