Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2-xy+y^2-4=0

A.

\[[x;y] = \left\{ {\left[ {3;11} \right];\,\,\left[ {1;\, - 1} \right];\,\,\left[ {0;2} \right];\,\,\left[ { - 2;4} \right]} \right\}.\]

B.

\[[x;y] = \left\{ {\left[ { - 3; - 11} \right];\,\,\left[ {1;\,1} \right];\,\,\left[ {0;2} \right];\,\,\left[ { - 2; - 4} \right]} \right\}.\]

C.

\[[x;y] = \left\{ {\left[ { - 3; - 11} \right];\,\,\left[ {1;\, - 1} \right];\,\,\left[ {0;2} \right];\,\,\left[ { - 2; - 4} \right]} \right\}.\]

D.

\[[x;y] = \left\{ {\left[ { - 3;11} \right];\,\,\left[ {1;\,1} \right];\,\,\left[ {0;2} \right];\,\,\left[ { - 2;4} \right]} \right\}.\]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2+x+6=y^2

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x2+x+6=y2

Ngày dạy:Chuyên đề:PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊNThời lượng: 4 buổi1. Phương pháp phân tích thành tích:Phân tích vế trái thành dạng tích có chứa các biến, vế phải là một sốBài 1: Tìm cặp số nguyên x;y thỏa mãn:a] xy + x + y = 2 ⇔ [ x + 1][ y + 1] = 3 = 1.3 = [−1].[−3]Kết quả: [0;2], [2;0], [-4;-2], [-2;-4]b] x - y + xy =3 ⇔ [ y + 1][ x − 1] = 2 = 1.2 = −1.[−2]Kết quả: [3;0], [2;1], [-1;-2], [0;-3]c] 2xy - 3y - x - 1 = 01 5⇔ x [2 y − 1] − 3[2 y − 1]. = ⇔ 2 x[2 y − 1] − 3[2 y − 1] = 5 ⇔ [2 y − 1][2 x − 3] = 52 2Kết quả:d][4;1], [2;3], [-1;0], [1;-2]1 111+ +=x y 6 xy 6Hướng dẫn giảiĐặt điều kiên sau đó đưa về phương trình ước số Tìm được hai nghiệm [43; 7]; [7; 43]Bài 2. Tìm các cặp số nguyên x;y thỏa mãn :a] 2 xy + x + y = 21[Năm học 2011-2012 ]Giải : Nhân hai vế với 2, ta được:⇔ 4xy + 2x + 2y +1 = 43 ⇔ [2x + 1].[2y + 1]= 1.43 = -1.[-43]Kết quả:[0;21], [21;0], [-1;-22], [-22;-1]Cách khác : Ta có thể biến đổi một cách tự nhiên hơn, như sau:1 12 xy + x + y = 21 ⇔ x [2 y + 1] + [2 y + 1]. − = 212 2⇔ 2 x [2 y + 1] + [2 y + 1] = 43 ⇔ [2 x + 1][2 y + 1] = 43b] 2xy - 3y - x - 1 = 0Giải:1 5⇔ x [2 y − 1] − 3[2 y − 1]. = ⇔ 2 x[2 y − 1] − 3[2 y − 1] = 5 ⇔ [2 y − 1][2 x − 3] = 52 2Kết quả:[4;1], [2;3], [-1;0], [1;-2]c] xy +x - 2y = 31Bài 3.* Chú ý quan trọng:Trong phương trình nghiệm nguyên, khi có 1 biến nào đó có số mũ không đổi ta đặt biếnđó làm nhân tử chung rồi xử lí phần còn lại.a] Tìm các cặp số nguyên [x;y] thỏa mãn phương trình: x 2 − xy − 5 y − 24 = 0 .[Năm học 2013- 2014 Thị xã Hoàng mai ]Giải bằng : PP phân tích thành tíchx 2 − xy − 5 y − 24 = 0 ⇔ − y [ x + 5] + x 2 − 25 − 1 = 0⇔ − y [ x + 5] + [ x + 5][ x − 5] = 1 ⇔ [ x + 5][ x − y − 5] = 1b] Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn : x 2 − xy + 3 y − 16 = 0x 2 − xy + 3 y − 16 = 0 ⇔ [ x − 3][ x − y + 3] = 7c] Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:x 2 + xy + x + 2 y = 4x 2 + xy + x + 2 y = 4 ⇔ [ x + 2][ x + y − 1] = 2Bài 4.a] Tìm các cặp số nguyên [ x ; y] thoả mãn phương trình: .2x2-2xy = 5x+y-19[Năm học 2006-2007]2x2 - 2xy = 5x+y-19 ⇔ 2x2 - 2xy - 5x - y+19 = 0⇔ -y[2x+1] + 2x - 5x + 19 = 0⇔ -y[2x+1] + [2x+x] - 6x - 3 + 22 = 0⇔ -y[2x+1] + x[2x+1] - 3[2x + 1] = 0- 22⇔ [2x+1][x-y-3] = -22* Chú ý: vận dụng tính chất lẻ của 2x+1 để loại bớt trường hợp.Kết quả: [0;19], [-1;-26]b] Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x - xy + 4x - 2y - 2= 0⇔ [2x - y].[x + 2] = 2Kết quả: [0;-1], [-1;-4], [-3;-3], [-2;-2]c] Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x - x - xy + y + x = 6⇔ [x - y +1].[x - 1] = 6Kết quả: [2;0], [6;36], [0;6], [-4;18]2Bài 5. [Bài khó]a]Tìm cặp số nguyên dương x,y thoả mãn p/t: x2y+2xy - 81x +y = 0[Năm học 2009-2010]Giải:⇔ y [ x +1] 2 − 81x = 0⇔ y [ x +1] 2 − 81[ x +1] = −81⇔ [ x +1][ xy + y − 81] = −81 = −81.1 = −1.81 = −3.27 = −27.3 = −9.9Do x+1>0 nên chỉ xẩy ra một trong các trường hợp sau:- Với- Với- Với- Với x = 80 x + 1 = 81⇔80 [Loại] xy + y − 81 = −1  y =81 x = 26 x + 1 = 27⇔78 [Loại] xy + y − 81 = −3  y =27x +1 = 3x = 2⇔[Thỏa mãn] xy + y − 81 = −27 y = 18x +1 = 9x = 8⇔[Thỏa mãn] xy + y − 81 = −9y = 8Vậy, phương trình chỉ có hai nghiệm: [2;18], [8;8]− x 2 y + x + 2 y − xy = 15⇔ − y [ x 2 + x − 2] + x = 15 ⇔ − y [ x − 1][ x + 2] + x + 2 = 17⇔ [ x + 2][1 + y − xy ] = 17 = 1.17 = −1.[−17]b] Tìm cặp số tự nhiên x,y trong phương trình:Vì x+2> 0 nên chỉ xảy ra một trong hai trường hợp sau:x + 2 = 1 x = −1⇔[Loại]1 + y − xy = 17y = 8 x + 2 = 17 x = 15⇔Với [Thỏa mãn]1 + y − xy = 1  y = 0- Với -Bài 6. Tìm các cặp số nguyên [x;y] thỏa mãn phương trình: x 2 − xy − 5 y − 24 = 0 .[Năm học 2013- 2014 Thị xã Hoàng mai ]Giải bằng : PP phân tích thành tích⇔ [ x 2 − 25] − [ xy + 5 y ] = −1 ⇔ [ x + 5][ x − 5] − y [ x + 5] = −1⇔ [ x + 5][ x − y − 5] = −1 = −1.1 = 1.[−1]3Bài 7. Tìm các cặp số nguyên [x; y] thoả mãn: x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0 ⇔ [x - 4y] - [5xy - 10y] = -1⇔ [x - 4y] - [5xy - 10y] = -1 ⇔ [x-2y][x+2y] - 5y[x-2y]=-1[x-2y][x-3y]=-1Bài tập tự luyện:Bài 1: nghiẹm nguyên của phương trình.x 2 + 2y2 +3xy –x – y + 3 =0[ x + y ] 2 + y [ x + y ] − [ x + y ] = −3 ⇔ [ x + y ][ x + y + y − 1] = −3Bài 3 nghiệm nguyên của phương trình:x3 - y3 = xy + 8 [1]Bài 4 Tìm các nghiệm tự nhiên của phương trình: x 2 + xy + y 2 = x 2 y 211[ x + y ] 2 − [ x 2 y 2 + xy ] = 0 ⇔ [ x + y ] 2 − [ xy + ] 2 + = 024Nhân 2 vế với 4[ phải đưa về pt nguyên] ta được:4[ x + y ] 2 − [2 xy + 1] 2 = − 1 ⇔ [2 x + 2 y − 2 xy − 1][2 x + 2 y + 2 xy + 1] = − 1 = − 1.1Kết quả: [0;0] là nghiệm duy nhất.Bài 5 [khó, tham khảo]Tìm nghiệm tự nhiên [x; y] của phương trình:[x2 + 4y2 + 28]2 = 17[x4 + y4 + 14y2 + 49]Biến đổi tương đương PT đã cho: [*] ⇔ [x2 + 4[y2 + 7]]2 = 17[x4 + [y2 + 7]2]⇔ x4 + 8x2[y2 + 7] + 16[y2 + 7]2 = 17x4 + 17[y2 + 7]2 ⇔ 16x4 – 8x2[y2 + 7] + [y2 + 7]2 = 0 ⇔[4x2 – [y2 + 7]]2 = 0 ⇔ 4x2 – y2 – 7 = 0 ⇔ [2x – y][2x + y] = 7 [1]Vì x; y ∈ N nên 2x – y ≤ 2x + y và 2x + y ≥ 0, chúng đều có giá trị nguyên nên suy được 2x + y = 7⇔ 2x − y = 1x = 2. Vậy phương trình có một nghiệm tự nhiên là: [2; 3].y = 3Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacovski để có:[1x2 + 4[y2 + 7]]2 ≤ [12 + 42][x4 + [y2 + 7]2] hay [x2 + 4[y2 + 7]]2 ≤ 17[x4 + [y2 + 7]2], dấu bằngxảy ra [tức là có PT [*]] khi 4x2 = y2 + 7 ⇔ [2x – y][2x + y] = 7. Làm tiếp như trên.42. Phương pháp đưa về tổng các lũy thừa:Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y 2 = 2 + 4 − x 2 − 2 x[Năm học 2005-2006 ]Giải: y 2 = 2 + 4 − x 2 − 2 x22 y ≥ 2 y ≥ 2[1]⇔ y 2 − 2 = 4 − x2 − 2x ⇔  2⇔ 2222222[ y − 2] = 4 − x − 2 x[ y − 2] + [ x + 1] = 5 = 1 + 2 [*] y2 ≥ 2 y2 ≥ 2⇔  y 2 − 2 = 1 Hoặc  y 2 − 2 = 2 x + 1 = 2 x + 1 = 1Vậy, có các khả năng như sau:- Với y 2 − 2 = 1  y = ± 3⇔[Loại]x +1 = 2 x = 1- Với y = ± 3 y2 − 2 = 1⇔[Loại] x + 1 = −2 x = −3- Với y2 − 2 = 2 y = ±2⇔[Thỏa mãn]x = 0x +1 = 1- Với y 2 − 2 = −2y = 0⇔[Loại, vì không t/m 1] x = −2 x + 1 = −1Vậy, Phương trình chỉ có hai nghiệm là [0;-2]; [0;2]Bài 2. Tìm hai số tự nhiên x; y biết :x 2 + 2 y 2 + 2 xy + 2 y = 12Giải:[ x + y ] 2 + [ y + 1] 2 = 13 = 22 + 32Từ đó ta xét 2 trường hợp sau:x + y = 2x = 0⇔ y +1 = 3y = 2- Trường hợp 1: x + y = 3 x = 2⇔ y +1 = 2y =1- Trường hợp 2: Vậy, có hai cặp số tự nhiên [x; y] thỏa mãn đk bài toán là: [0;2] , [2;1]Bài 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:51 + −4 x 2 + 4 x + 16 = y1 + −4 x 2 + 4 x + 16 = y ⇔ y − 1 = −4 x 2 + 4 x + 16 ⇔y ≥1y ≥1y ≥1⇔⇔22222222[ y − 1] = −4 x + 4 x + 16[ y − 1] + [2 x − 1] = 17[ y − 1] + [2 x − 1] = 1 + 4y ≥1y ≥1⇔  y − 1 = 1 [1] hoặc ⇔  y − 1 = 4 [2] 2x −1 = 4 2x −1 = 1Giải [1] ta xét các trường hợp sau:y = 2 y −1 = 1⇔- Với 5 [Loại]2 x − 1 = 4 x = 2y = 0 y − 1 = −1 ⇔- Với 5 [loại]2 x − 1 = 4 x = 2y = 2 y −1 = 1⇔- Với 3 [Loại] 2 x − 1 = −4 x = − 2y = 0 y − 1 = −1⇔- Với 3 [Loại] 2 x − 1 = −4 x = − 2Giải [2] ta xét các trường hợp sau: y −1 = 4y = 5⇔[Thỏa mãn]2 x − 1 = 1  x = 1- Với  y −1 = 4y = 5⇔[Thỏa mãn] 2 x − 1 = −1  x = 0- Với - Với - Với  y − 1 = −4 y = −3⇔[Loại-vì y≥ 1]2 x − 1 = 1x = 1 y − 1 = −4 y = −3⇔[Loại-vì y≥ 2 x − 1 = −1  x = 01]Vậy, nghiệm của phương trình là: [1;5] và [0;5]Bài 4. Giải phương trình: x 2 +y 2 +6 y +5 =0 ; với x, y nguyên.Giải:x 2 +y 2 +6 y +5 =0 Û x 2 +[ y +3] 2 =4 =02 +22x = 0 x = ±2⇔hoặc  y + 3 = ±2y +3 = 0Giải ra ta được các cặp số thỏa mãn phương trình là:[0; -1], [0; -5], [2; -3], [-2; -3].3. Phương pháp đánh giá chẵn lẻ:Đánh giá tính chẵn lẻ của hai vế, từ đó tìm nghiệm của phương trìnhBài 1. Tìm cặp số tự nhỉên x, y thoả mãn : 100x + y2 + 3y = 1096[Năm học 2010-2011]Giải bằng : PP chẵn –lẻ : y[y+3] chẵn ⇒ 100x lẻ ⇒ x = 0 …⇒ y2 + 3y - 108 =0⇔ 4 y 2 + 12 y − 432 = 0 ⇔ [2 y + 3] 2 − 441 = 0⇔ [2 y + 3 + 21].[2 y + 3 − 21] = 0 ⇔ y = −12hoặc y= 6Vậy, phương trình có hai nghiệm là [0;-12] và [0;6]Bài 2. Tìm các cặp số nguyên [x;y] thỏa mãn : 2 x + y 2 + y = 2 x + 1[Năm học 2012-2013]Giải bằng : PP chẵn –lẻ ⇔ 2 x + y [ y + 1] = 2 x + 1VP là số lẻ => VT là số lẻ , mà y[y+1] là số chẵn => 2 x là số lẻ => x = 0Bài 3.Hai đội cờ vua của hai trường A và B thi đấu với nhau, mỗi đấu thủ của đội này phảiđấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia . Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 2 lần tổng sốđấu thủ của 2 đội và số đấu thủ của một trong hai đội là số lẻ.Hãy tìm số đấu thủ của mỗiđội. [Năm học 2002-2003]Giải bằng : PP chẵn –lẻ hoặc PP phân tích thành tíchBài 4.Tìm các cặp số tự nhiên x ; y thoả mãn phương trình : 2x + y2 +y = 111.[Năm học 2005-2006 ]Giải bằng : PP chẵn -lẻ4. Phương pháp xét số dư:Bài 1: Tìm các số tự nhiên x; y thoả mãnCách 1: Vìlà số chính phương nênVà⇒+chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 [nếu y = 0]+chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2Mà 257 chia cho 3 dư 2 buộcchia cho 3 dư 2 ⇔+chia cho 3 dư 1⇒.= 1 ⇒ y =0; x= 167chia cho 3 dư 1 vàCách 2:Vì 3 = 729 ⇒ y < 6. Lần lượt xét 6 trương hợp của y để tìm x.Cách 3: Cách giải sai[cần lưu ý với hs]Vìlà số chính phương nênMặt khác:chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.chia hết cho 3 nên+chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.Mà 257 chia cho 3 dư 2 nên không tồn tại x; yđể+.Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:x - 2y = 5 [1]Để giải bài tập này ta dựa vào nhận xét sau:Một số chính phương chia cho 5 chỉ có thể hoăc dư 0 hoặc dư 1 hoặc dư 4.Giải: Ta cho y các khẳ năng sau:+ y+ 5 ⇒ 2 y + 25 , từ [1] ⇒ x + 25 ⇒ x - 2y + 25 ⇒ 5 + 25 Vô lí.+ y chia 5 dư 1 hoặc 4 ⇒ y chia cho 5 dư 1 2 y chia cho 5 dư 2từ [1] ⇒ x chia cho 5 dư 2 ⇒ Vô lí [theo nhậ xét trên]+ y chia cho 5 dư 2 hoặc 3 ⇒ y chia cho 5 dư 4⇒2 y chia cho 5 dư 3từ [1] ⇒ x chia cho 5 dư 3 ⇒ Vô lí [theo nhậ xét trên]Vậy, không có cặp giá trị x; y nguyên nào để x - 2y = 5Bài 3:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 3[x2-y2 + y] = 28 –y3Giải: 3x - 3y + 3y = 28- y ⇔ [y-1] + 3x = 27 mà 27+ 3 và 3x + 3⇒ [y-1] + 3 ⇒ [y-1] + 27 [vì y∈ Z] lại có [y-1] ≤ 27Do đó [y-1]= 0 hoặc [y-1] = 27 ⇒ y= 1 hoặc y = 4Với y= 1 ⇒ x= 3 [vì x>0]Với y= 4 ⇒ x= 0 loạiVậy, y= 1; x= 3 là cặp số cần tìm.4. Phương pháp ước lượng giá trị mỗi vế của phương trình:Ví dụ:Giải phương trình nghiêm nguyên: 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19Giải:2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19 ⇔ 2[ x 2 + 2 x] = 19 − 3 y 2⇔ 2[ x + 1] 2 = 21 − 3 y 28Vì 2[ x + 1] 2 ≥ 0 ⇒ 21 − 3 y 2 ≥ 0 ⇒ y 2 ≤ 7 ⇒ y ≤ 7- Nếu y = 0 ⇒ 2[ x + 1] 2 = 21 vô nghiệm [ vế phải chẵn - vế trái lẻ]2- Nếu y = 1 ⇒ 2[ x + 1] = 18 ⇔ x + 1 = ±3 ⇔ x = 2 hoặc x =-4Ta được các căp số thỏa mãn: [2;-1], [2;1], [-4;-1], [-4;1]2- Nếu y = 2 ⇒ 2[ x + 1] = 9 vô nghiệm- Nếu y ≥ 3 loại. Vì y ≤ 7Vậy,......Các bài tập tương tự:Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:a] x - 4x + y = 0b] x + y + y - 1 =0⇔ [2y+1] = 5 - 4xc] x +2y - 2xy = 4⇔ [x-y] = 4 - yd] 5x + 4xy + y - 2x = 4 ⇔ [2x+y] = 5 - [x-1]5. Phương pháp đặt ẩn phụVí dụ. [HSG tỉnh Hung Yên 2017-2018]Tìm cặp số nguyên thỏa mãn: [ x − 2018] 2 = y 4 − 6 y 3 + 11y 2 − 6 yLời giải: [ x − 2018]2 = y 4 − 6 y 3 + 11y 2 − 6 yTa có:y 4 − 6 y 3 + 11 y 2 − 6 y = [ y 4 − 2. y 2 .3 y + 9 y 2 ] + [2 y 2 − 6 y ]= [ y 2 − 3 y ] 2 + 2[ y 2 − 3 y ]Đặt a = y 2 − 3 y;[a ∈ Z ]Phương trình đã cho có dạng:[ x − 2018] 2 = a 2 + 2a ⇔ [ x − 2018] 2 − [a + 1] 2 = −1 ⇔ [ x − a − 2019][ x + a − 2017] = −1Vì x, a là số nguyên nên chỉ xẩy ra một trong các trường hợp: x − a − 2019 = 1 x = 2018⇔ x + a − 2017 = −1 a = −2+Với a=-2 ⇔ y 2 − 3 y = −2 ⇔ y 2 − 3 y + 2 = 0 ⇔ y = 1 hoặc y=2.Ta được các cặp số: [2018;1], [2018;2]. x − a − 2019 = −1  x = 2018⇔ x + a − 2017 = 1a = 0+9Với a=0 ⇔ y 2 − 3 y = 0 ⇔ y = 0 hoặc y=3.Ta được các cặp số: [2018;0], [2018;3].Baì tập 1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x[x+1][x+2][x+3] = y2Hướng dẫn giải22Phương trình [1]  [x + 3x][x + 3x + 2] = y2Đặt a = x2 + 3x [ĐK: a ≥ −2 [*]Ta có: a2 – 1 = y2 Giải phương trình này bằng cách đưa về phương trình ước sốThi HSG Tỉnh Nghệ anNăm học 2009 – 2010Câu 1. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 5[x 2 + xy + y 2 ] = 7[x + 2y]Đặt x+2y=5t [t∈ Z]. Đưa về pt bậc 2 - buộc phương trình có nghiệm:Thay vào phương trình ta được: x 2 + xy + y 2 = 7t thay x = 5t-x vào ta co:25t 2 − 15ty + 3 y 2 = 7t ⇔ 3 y 2 − 15ty + 25t 2 − 7t = 0V= −75t 2 + 84t = t [−75t + 84]Phương trình đã cho có nghiệm khi ∆ ≥ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤84suy ra t=0 hoặc t = 1.75Từ đó tìm được x=y=0 hoặc x=-1;y=3 hoặc x=1; y=2Bài tập. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19Cách 1: Sử dụng đk phương trình có nghiệm xCách 2: [2x+2] = 42- 6y ≥ 0 ⇒ y=….Câu 2[4,5đ]a] Tìm các số nguyên dương x, y khác nhau sao cho: x y = y x .Giải:Giả sử 1 ≤ x < y . Chia cả hai vế của PT cho x x ta được: x y − x =yxxxVì y x Mx x mà x là số nguyên dương nên y Mx . Đặt y = kx [k∈ N , k ≥ 2 ]Theo bài ra ta có x kx = [kx] x ⇔ [ x k ] x = [kx] x ⇔ x k = kx ⇔ x k −1 = k [1]Ta thấy x ≥ 2 [vì nếu x = 1 thì k = 1 ]. Do đó x k −1 ≥ 2k −1[2]Từ [1] và [2] suy ra k ≥ 2k −1 nên 2k ≥ 2k[3]Dễ thấy k ≥ 3 thì bất đẳng thức [3] không xảy ra. Do đó k = 2.Thay k = 2 vào [1] ta được x = 2 ⇒ y = 2.2 = 4 .10Thử lại x = 2; y = 4 thỏa mãn đề bài. Vì vai trò của x, y như nhau vậy [ x, y ]∈ { [ 2; 4 ] , [ 4; 2 ] }.Câu 3. [4.0 điểm]:Bài tập sưu tầm:1] Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:xy yz zx+ +=3zxy11