Câu hỏi:
[THPT Nho Quan A – Ninh Bình – 2022] Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \[{z^2} + 2mz – m + 12 = 0\] [ \[m\] là tham số thực]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \[m\] để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \[{z_1},{z_2}\] thỏa mãn \[\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 \left| {{z_1} – {z_2}} \right|?\]
A. \[1.\]
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải:
Phương trình đã cho có \[\Delta \prime = {m^2} + m – 12\].
Trường hợp 1: \[\Delta \prime > 0 \Leftrightarrow {m^2} + m – 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < – 4}\\{m > 3}\end{array}} \right.\].
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thực \[{z_1},{z_2}\] phân biệt.
Do đó, \[\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\] \[ \Leftrightarrow {\left[ {\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|} \right]^2} = {\left[ {\sqrt 2 \left| {{z_1} – {z_2}} \right|} \right]^2}\] \[ \Leftrightarrow z_1^2 + z_2^2 + 2\left| {{z_1}{z_2}} \right| = 2\left[ {z_1^2 + z_2^2 – 2{z_1}{z_2}} \right]\] \[ \Leftrightarrow {\left[ {{z_1} + {z_2}} \right]^2} – 2{z_1}{z_2} + 2\left| {{z_1}{z_2}} \right| = 2\left[ {{{\left[ {{z_1} + {z_2}} \right]}^2} – 4{z_1}{z_2}} \right]\] \[ \Leftrightarrow {\left[ {{z_1} + {z_2}} \right]^2} – 6{z_1}{z_2} – 2\left| {{z_1}{z_2}} \right| = 0\] \[ \Leftrightarrow 4{m^2} – 6[ – m + 12] – 2| – m + 12| = 0[*]\] Nếu \[m < – 4\] hoặc \[3 < m < 12\] thì \[[*] \Leftrightarrow 4{m^2} – 8[ – m + 12] = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m – 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = – 6}\\{m = 4}\end{array}.} \right.\]
Nếu \[m \ge 12\] thì \[[*] \Leftrightarrow 4{m^2} – 4[ – m + 12] = 0 \Leftrightarrow {m^2} + m – 12 = 0\] [không thỏa mãn].
Trường hợp 2: \[\Delta \prime < 0 \Leftrightarrow {m^2} + m – 12 < 0 \Leftrightarrow – 4 < m < 3\].
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{z_1},{z_2}\] là hai số phức liên hợp:
\[ – m + i\sqrt { – {m^2} – m + 12} {\rm{ v\`a }} – m – i\sqrt { – {m^2} – m + 12} {\rm{. }}\]\[\]
Do đó, \[\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\]
\[ \Leftrightarrow 2\sqrt {{m^2} + \left[ { – {m^2} – m + 12} \right]} = 2\sqrt { – {m^2} – m + 12} \Leftrightarrow – m + 12 = – {m^2} – m + 12 \Leftrightarrow m = 0{\rm{ }}\][thỏa mãn]\[\]
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số \[m\] thỏa mãn đề bài.
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Câu hỏi:
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \[{z^2} + 2\left[ {m – 1} \right]z + {m^2} = 0\] [\[m\] là tham số thực]. Có bao nhiêu giá trị \[m\]dương để phương trình đó có nghiệm \[{z_0}\] thỏa mãn \[\left| {{z_0}} \right| = 4?\]
A. \[1\].
B. \[2\].
C. \[3\].
D. \[4\].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \[\Delta ‘ = {\left[ {m – 1} \right]^2} – {m^2} = – 2m + 1\].
TH1: Nếu \[\Delta ‘ \ge 0\]\[ \Leftrightarrow – 2m + 1 \ge 0\]\[ \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}\] thì phương trình có hai nghiệm thực:
Từ giả thiết: \[\left| {{z_0}} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 4\\{z_0} = – 4\end{array} \right.\]
*Với \[{z_0} = 4\]thay vào phương trình ta có: \[{4^2} + 2\left[ {m – 1} \right].4 + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 8m + 8 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 4 + 2\sqrt 2 \\m = – 4 – 2\sqrt 2 \end{array} \right.\].
*Với \[{z_0} = – 4\]thay vào phương trình ta có: \[{\left[ { – 4} \right]^2} + 2\left[ {m – 1} \right].\left[ { – 4} \right] + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} – 8m + 24 = 0\]
TH2: Nếu \[\Delta ‘ < 0\]\[ \Leftrightarrow – 2m + 1 < 0\]\[ \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\] thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phức:
\[{z_0} = – \left[ {m – 1} \right] + \sqrt {\left| { – 2m + 1} \right|} .i\]\[ = – m + 1 + i.\sqrt {2m – 1} \]
Và \[{z_0} = – m + 1 – i.\sqrt {2m – 1} \]
\[\left| {{z_0}} \right| = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ { – m + 1} \right]}^2} + 2m – 1} = 4\]\[ \Leftrightarrow {m^2} – 2m + 1 + 2m – 1 = 16\]\[ \Leftrightarrow {m^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 4\\m = 4\end{array} \right.\]
Chọn \[m = 4\].
=======
Câu hỏi:
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \[z^2-2 m z+8 m-12=0\] [m là tham số thực]. có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \[z_1, z_2\] thỏa mãn \[\left|z_1\right|=\left|z_2\right|\]?
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: D
Ta có \[\Delta’=m^2-8 m+12\].
Nếu \[\Delta’>0\] thì phương trình có hai nghiệm thực, khi đó \[\left|z_1\right|=\left|z_2\right| \Leftrightarrow z_1=-z_2 \Leftrightarrow z_1+z_2=0 \Leftrightarrow m=0\] [thỏa mãn];
Nếu \[\Delta'