Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Cho hệ toạ độ \[Oxyz\], cho bốn điểm \[A[ 1 ; 0 ; 0 ], B[ 0 ; 1 ; 0 ], C[ 0 ; 0 ; 1 ], D[ -2 ; 1 ; -1]\]
LG a
a] Chứng minh \[A, B, C, D\] là bốn đỉnh của một tứ diện.
Phương pháp giải:
Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện tức là chứng minh 4 điểm này không đồng phẳng
Bằng cách viết phương trình mặt phẳng \[[ABC]\] [ dạng đoạn chắn] rồi chứng minh\[D \notin \left[ {ABC} \right]\].
Lời giải chi tiết:
Viết phương trình mặt phẳng \[[ABC]\]: Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:
\[[ABC]\]: \[{x \over 1} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \] \[\Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\]
Thế các toạ độ của \[D\] vào vế phải của phương trình mặt phẳng \[[ABC]\], ta có: \[-2 + 1 - 1 - 1 = -3 0\]
Vậy \[D [ABC]\] hay bốn điểm \[A, B, C, D\] không đồng phẳng, suy ra \[A, B, C, D\] là bốn đỉnh của 1 tứ diện.
Cách khác:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = [ - 1;1;0];\;\;\overrightarrow {CD} = \left[ { - 2;1; - 2} \right];\;\;\overrightarrow {AC} = \left[ { - 1;0;1} \right]\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {1;1;1} \right]\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} } \right].\;\overrightarrow {CD} \; = [ - 2].1 + 1.1 + [ - 2].1 = - 3
\end{array}\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} ;\;\overrightarrow {CD} \;\] không đồng phẳng.
\[ \Rightarrow A, B, C, D\] không đồng phẳng
\[ \Rightarrow A, B, C, D\] là 4 đỉnh của hình tứ diện
LG b
b] Tìm góc giữa hai đường thẳng \[AB\] và \[CD\].
Phương pháp giải:
Gọi \[α\] là góc giữa hai đường thẳng \[AB, CD\] ta có: \[\cos α =\left| {\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]} \right|\].
\[\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\]
Lời giải chi tiết:
Gọi \[\displaystyle α\] là góc giữa hai đường thẳng \[\displaystyle AB, CD\] ta có:
\[\displaystyle \cos α =\left| {\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]} \right|\]
\[\displaystyle \cos \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] \] \[\displaystyle = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\]
Ta có: \[\displaystyle \overrightarrow {AB} = [ - 1,1,0]\], \[\displaystyle \overrightarrow {CD} = [ - 2,1, - 2]\]
\[\displaystyle \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}= [-1].[-2] + 1.1 + 0.[-2] = 3\]
\[\displaystyle \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{[ - 1]}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \]
\[\displaystyle \left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{[ - 2]}^2} + {1^2} + {{[ - 2]}^2}} = 3\]
\[\displaystyle \Rightarrow \cos [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ] = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \] \[\Rightarrow [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ] = 45^0\]\[\displaystyle \Rightarrow α= 45^0\]
LG c
c] Tính độ dài đường cao của hình chóp \[A.BCD\].
Phương pháp giải:
Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD bằng\[d\left[ {A;\left[ {BCD} \right]} \right]\].
+] Viết phương trình mặt phẳng [BCD].
+] Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm\[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến mặt phẳng\[\left[ P \right]:\,\,Ax + By + Cz + D = 0\] là:\[d\left[ {M;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có \[\displaystyle \overrightarrow {BC} = [0; - 1;1],\] \[\displaystyle \overrightarrow {BD} = [ - 2;0; - 1]\]
Gọi \[\displaystyle \overrightarrow n \]là vectơ pháp tuyến của \[\displaystyle [BCD]\] thì:
\[\displaystyle \overrightarrow n_{[BCD]} = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] \] \[\displaystyle = [1; -2; -2]\]
Phương trình mặt phẳng \[\displaystyle [BCD]\]:
\[\displaystyle 1[x - 0] - 2[y - 1] - 2[ z - 0] = 0\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow x - 2y - 2z + 2 = 0\]
Chiều cao của hình chóp \[\displaystyle A.BCD\] bằng khoảng cách từ điểm \[\displaystyle A\] đến mặt phẳng \[\displaystyle [BCD]\]:
\[\displaystyle h = d[A,[BCD]] = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {[-2]^2} + {{[ - 2]}^2}} }}\] \[\displaystyle = {3 \over 3} = 1\]