- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG f
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
LG a
\[f\left[ x \right] = {x^2} + 2x - 5\]trên đoạn \[\left[ { - 2;3} \right]\];
Lời giải chi tiết:
\[D = \left[ { - 2;3} \right]\]
\[f'\left[ x \right] = 2x + 2\]
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow x=- 1 \in \left[ { - 2;3} \right]\]
Ta có: \[f\left[ { - 2} \right] = - 5;f\left[ { - 1} \right] = - 6;\] \[f\left[ 3 \right] = 10\].
Vậy: \[\mathop {\min \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} = - 6;\mathop {\max \,f\left[ x \right] = 10}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} \].
Cách khác:
Hàm số f[x]= x2+ 2x 5
Tập xác định D = R.
Đạo hàm y= 2x +2 = 0 x = - 1
Bảng biến thiên:
Vậy: \[\mathop {\min \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} = - 6;\mathop {\max \,f\left[ x \right] = 10}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} \].
LG b
\[f\left[ x \right] = {{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 3x - 4\]trên đoạn \[\left[ { - 4;0} \right]\];
Lời giải chi tiết:
\[D = \left[ { - 4;0} \right]\]
\[f'\left[ x \right] = {x^2} + 4x + 3\]
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr
x = - 3 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr} \right.\]
Ta có: \[f\left[ { - 4} \right] = - {{16} \over 3};f\left[ { - 1} \right] = - {{16} \over 3};\] \[f\left[ { - 3} \right] = - 4;f\left[ 0 \right] = - 4\]
Vậy \[\mathop {\min \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} = - {{16} \over 3};\] \[\mathop {\max \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} = - 4\].
LG c
\[f\left[ x \right] = x + {1 \over x}\]trên đoạn \[\left[ {0; + \infty } \right]\];
Lời giải chi tiết:
\[D = \left[ {0; + \infty } \right]\]
\[f'\left[ x \right] = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}}\] với mọi \[x \ne 0\]
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\]
\[x=1\in \left[ {0; + \infty } \right.]\]
\[x=-1\not\in \left[ {0; + \infty } \right.]\]
Vậy \[\mathop {\min \,\,f\left[ x \right] = f\left[ 1 \right]}\limits_{x \in \left[ {0; + \infty } \right]} = 2\].
Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\].
LG d
\[f\left[ x \right] = - {x^2} + 2x + 4\]trên đoạn \[\left[ {2;4} \right]\];
Lời giải chi tiết:
\[D = \left[ {2;4} \right]\]
\[f'\left[ x \right] = - 2x + 2\]
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin \left[ {2;4} \right]\]
Ta có: \[f\left[ 2 \right] = 4;f\left[ 4 \right] = - 4\]
Vậy \[\mathop {\min \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = - 4;\] \[\mathop {\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = 4\].
LG e
\[f\left[ x \right] = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\]trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\];
Lời giải chi tiết:
\[D = \left[ {0;1} \right]\]
\[f'\left[ x \right] = {{2{x^2} + 8x + 6} \over {{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\]
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr
x = - 3 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr} \right.\]
Ta có: \[f\left[ 0 \right] = 2;f\left[ 1 \right] = {{11} \over 3}\]
Vậy \[\mathop {\min \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = 2;\] \[\mathop {\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = {{11} \over 3}\]
Cách khác:
Bảng biến thiên:
Vậy \[\mathop {\min \,f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = 2;\] \[\mathop {\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} = {{11} \over 3}\]
LG f
\[f\left[ x \right] = x - {1 \over x}\]trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\];
Lời giải chi tiết:
\[D = \left[ {0;2} \right]\]
\[f'\left[ x \right] = 1 + {1 \over {{x^2}}} > 0\] với mọi \[x \in \left[ {0;2} \right]\]
\[f\left[ 2 \right] = {3 \over 2}\]
Vậy \[\mathop {\,\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} = {3 \over 2}\].
Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên \[\left[ {0;2} \right]\].