- LG a
- LG b
Cho ba điểm \[A[-1 ; 0], B[2 ; 4], C[4 ; 1].\]
LG a
Chứng minh rằng tập hợp các điểm \[M\] thỏa mãn \[3M{A^2} + M{B^2} = 2M{C^2}\] là một đường tròn \[[C]\]. Tìm tọa độ tâm và bán kính của \[[C]\].
Lời giải chi tiết:
Xét điểm \[M[x ; y]\]. Biến đổi điều kiện \[3M{A^2} + M{B^2} = 2M{C^2}\]qua tọa độ ta được phương trình đường tròn cần tìm \[[C]: {\left[ {x + \dfrac{9}{2}} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} = \dfrac{{107}}{4}\], \[[C]\] có tâm \[I\left[ { - \dfrac{9}{2} ; 1} \right]\], bán kính \[R = \dfrac{{\sqrt {107} }}{2}\].
LG b
Một đường thẳng \[\Delta \] thay đổi đi qua \[A\] cắt \[[C]\] tại \[M\] và \[N\]. Hãy viết phương trình của \[\Delta \] sao cho đoạn \[MN\] ngắn nhất.
Lời giải chi tiết:
[h.104].
\[IA < R\] nên \[A\] trong \[[C]\]. Gọi \[H\] là trung điểm của \[MN\] thì \[IH \bot MN\].
\[MN = 2MH = 2\sqrt {{R^2} - I{H^2}} \].
Do đó \[MN\] min \[ \Leftrightarrow IH\] max.
Ta luôn có \[IH \le IA\]. Vậy \[IH\] max \[ \Leftrightarrow H \equiv A\], tức là \[\overrightarrow {IA} = \left[ { \dfrac{7}{2} ; - 1} \right]\] là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[\Delta \] cần tìm. Từ đó suy ra phương trình của \[\Delta \] là \[7x - 2y + 7 = 0\].