Đề bài
Tam giác \[ABC\] vuông ở \[A\] và có hai cạnh \[AB=7, AC=10.\]
a] Tìm cosin của các góc \[\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\overrightarrow {AC} \,} \right];\] \[\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\overrightarrow {BC} } \right]\,;\,\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\overrightarrow {CB} } \right]\,.\]
b] Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] trên \[BC\]. Tính \[\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {HC} \].
Lời giải chi tiết
[h.27].
a] \[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = {90^0}\] nên \[\cos [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = 0\].
\[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ] = {180^0} - \widehat {ABC}\] nên
\[\cos [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ] = - \cos \widehat {ABC}\]
\[= - \dfrac{7}{{\sqrt {149} }}\].
\[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CB} ] = \widehat {ABC}\] nên \[\cos [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CB} ] = \dfrac{7}{{\sqrt {149} }}\].
b] \[\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {HC} = HB.HC.\cos {180^0}\]
\[= - HB.HC = - A{H^2}.\]
Theo hệ thức trong tam giác vuông \[\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{{149}}{{4900}}\], suy ra \[A{H^2} = \dfrac{{4900}}{{149}}\].
Vậy \[\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {HC} = - \dfrac{{4900}}{{149}}\].