Đề bài
Tam giác vuông \[ABC\] có \[\widehat A = 90^\circ \], \[AB = a [cm], AC = b [cm]\], \[[a < b]\], trung tuyến \[AM,\] đường phân giác \[AD\] [\[M\] và \[D\] thuộc cạnh \[BC\]] [h.20].
a] Tính độ dài các đoạn thẳng \[BC, BD, DC, AM \] và \[DM\] theo \[a, b.\]
b] Hãy tính các đoạn thẳng trên đây chính xác đến chữ số thập phân thứ hai khi biết \[a = 4,15cm; b = 7,25cm.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Tính chất đường phân giác:Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.
- Định lí Pytago: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.
- Tính chất: \[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}}\]
Lời giải chi tiết
a] Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[ABC\], ta có:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {a^2} + {b^2}\]
\[ \Rightarrow BC = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
Ta có: \[ \displaystyle AM = BM = {1 \over 2}BC\] [trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy].
\[ \displaystyle \Rightarrow AM = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
Vì \[AD\] là đường phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên theotính chất đường phân giác của tam giác ta có:
\[\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\]
Từ đó, ta có:
\[\displaystyle{{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\]
\[ \Rightarrow\displaystyle {{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\]
\[ \Rightarrow\displaystyle{{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\]
\[ \Rightarrow DB = \dfrac{{AB.BC}}{{AB + AC}} = \dfrac{{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{a + b}}\]
Vậy \[DC = BC - DB \]\[\,=\displaystyle \sqrt {{a^2} + {b^2}} - {{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}}\]\[\,\displaystyle = {{b\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}}\]
\[\eqalign{ & DM = BM - BD \cr & = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} - {{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}} \cr} \]
\[\begin{array}{l}
= \dfrac{{\left[ {a + b} \right]\sqrt {{a^2} + {b^2}} - 2a\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2\left[ {a + b} \right]}}\\
= \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \left[ {a + b - 2a} \right]}}{{2\left[ {a + b} \right]}}\\
= \dfrac{{\left[ {b - a} \right]\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2\left[ {a + b} \right]}}
\end{array}\]
b] Với \[a = 4,15\;cm; b= 7,25 \;cm\], ta tính được:
\[ BC = \sqrt {{{\left[ {4,15} \right]}^2} + {{\left[ {7,25} \right]}^2}}\]\[\; \approx 8,35[cm] \]
\[\displaystyle BD = {{4,15\sqrt {{{\left[ {4,15} \right]}^2} + {{\left[ {7,25} \right]}^2}} } \over {4,15 + 7,25}} \]\[\,\approx 3,04[cm] \]
\[DC = \dfrac{{b\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{a + b}}\approx 5,31[cm] ;\]
\[\displaystyle AM = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \approx 4,18[cm] ;\]
\[\,DM= \dfrac{{\left[ {b - a} \right]\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2\left[ {a + b} \right]}} \approx 1,14[cm] .\]