Đề bài
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
+] Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
+] Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết
Xét hình thoi \[ABCD\] có \[ E, F, G, H\] theo thứ tự là trung điểm của \[ AB, BC, CD, DA.\]
\[ABC\] có\[EB = EA\] và \[ FB = FC\] nên \[EF\] là đường trung bình suy ra \[EF // AC\] [1]
Chứng minh tương tự\[HG // AC\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[EF//HG\]. Chứng minh tương tự \[EH//FG\].
Tứ giác \[EFGH\] có \[EF//HG\] và\[EH//FG\] nênlà hình bình hành.
Ta có \[BD\bot EF\] vì \[BD\bot AC\] [tính chất đường chéo hình thoi] và \[EF//AC\].
Ta có \[EF\bot EH\] vì \[EF\bot BD\] [chứng minh trên] và \[EH// BD\].
Hình bình hành\[EFGH\] có\[\widehat E = {90^o}\] nên là hình chữ nhật [dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật].
Giải thích thêm chỗ các cặp cạnh song song:
Vì \[HD = HA, GD = GC\] [gt]
\[ \Rightarrow \]\[HG\] là đường trung bình của \[ADC\]
\[ \Rightarrow \]\[HG // AC\][tính chấtđường trung bình của tam giác]
\[ \Rightarrow \]\[EF // HG\] [cùng // \[AC\]]
Ta có: \[EB = EA, AH = HD\] [gt]
\[ \Rightarrow \]\[EH\] là đường trung bình của \[ABD\]
\[ \Rightarrow \]\[EH // BD\] [tính chấtđường trung bình của tam giác]
\[BF = FC, GD = GC\] [gt]
\[ \Rightarrow \]\[FG\] là đường trung bình của \[BDC\]
\[ \Rightarrow \]\[FG // BD\][tính chấtđường trung bình của tam giác]
\[ \Rightarrow \]\[EH // FG\] [cùng // \[BD\]]