Đề bài
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh bên SA, SB, SC và SD. Chứng minh rằng:
a] ME//AC, NF//BD.
b] Ba đường thẳng ME, NF và SO [O là giao điểm của AC và BD] đồng quy.
c] Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.
Lời giải chi tiết
a] Xét tam gác SAC. Ta có ME là đường trung bình nên ME//AC. Lí luận tương tự, NF//BD.
b] Trong mp[SAC] gọi I là giao điểm của ME và SO. Dễ thấy I là trung điểm của SO. Từ đó FI là đường trung bình của tam giác SOD. Vậy FI//DO.
Gọi N là giao điểm của đường thẳng FI với SB.
Do FN' // BD và F là trung điểm của SD suy ra N là trung điểm của SB, tức là \[N' \equiv N.\]
Vậy ba đường thẳng ME, NF, SO đồng quy tại I.
c]Do ME và NF cắt nhau tại I, nên qua ME và NF xác định một mặt phẳng. Từ đó suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.