Đề bài
Cho đường tròn [O; R] đường kính AB. Lấy C thuộc đường tròn sao cho\[\widehat {COB} = 60^\circ \]. Gọi I là điểm chính giữa của cung CB và M là giao điểm của OB và CI.
a] Tính \[\widehat {CMO}\].
b] Kẻ đường cao AH của COM. Tính độ dài OM theo R.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn
+Số đogóc có đỉnh bên ngoài đường tròn
+Trong tam giác đều đường cao đồng thời là đường trung tuyến
+Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối
Lời giải chi tiết
a] Ta có :\[sd\overparen{COB} = {60^o}\][gt]
\[ \Rightarrow sd\overparen{CB} = {60^o}\]
Do đó\[sd\overparen{AC} = 180^o - 60^o = 120^o\]
I là điểm chính giữa cung CB nên
\[sd\overparen{IC} = sd\overparen{IB} = \dfrac{{sdCB}}{2} = {30^o}\]
Vậy \[\widehat {CMO} = \dfrac{{sdAC - sdIB}}{2}\]\[\, = \dfrac{{{{120}^o} - {{30}^o}}}{2} = {45^o}\][ góc có đỉnh bên ngoài đường tròn].
b] \[OCB\] cân có \[\widehat {COB} = 60^\circ \] nên là tam giác đều.
Do đó đường cao CH đồng thời là đường trung tuyến
Hay \[HO = HB = \dfrac{R }{2}\] và \[CH = OC.\sin 60^\circ = \dfrac{{R\sqrt 3 } }{2}.\]
Tam giác CHM vuông có \[\widehat {CMO} = 45^\circ \] [cmt] nên là tam giác vuông cân
\[\Rightarrow HM = CH = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}.\]
Do đó\[OM = OH + HM = \dfrac{R}{2} +\dfrac {{R\sqrt 3 } }{ 2}\]\[\, = \dfrac{{R\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]} }{ 2}.\]