Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
LG a
a] \[x\ln [1+x]dx\];
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = u\left[ x \right]\\dv = v'\left[ x \right]dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = u'\left[ x \right]dx\\v = v\left[ x \right]\end{array} \right..\]
Khi đó ta có: \[\int {f\left[ x \right]dx} = u\left[ x \right]v\left[ x \right] - \int {u'\left[ x \right]v\left[ x \right]dx} .\]
Lời giải chi tiết:
\[\;\;\int {x\ln \left[ {1 + x} \right]dx.} \]
Đặt: \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left[ {1 + x} \right]\\dv = xdx\end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{x + 1}}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right..\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\ln \left[ {1 + x} \right]dx = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left[ {1 + x} \right] - \int {\dfrac{{{x^2}}}{{2\left[ {x + 1} \right]}}dx} } \\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left[ {1 + x} \right] - \dfrac{1}{2}\int {\left[ {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right]dx} \\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left[ {1 + x} \right] - \dfrac{1}{2}\int {\left[ {x - 1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right]dx} \\= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left[ {1 + x} \right] - \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left[ {1 + x} \right]} \right] + C\\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left[ {1 + x} \right] - \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2}\ln \left[ {1 + x} \right] + C\\= \dfrac{1}{2}\left[ {{x^2} - 1} \right]\ln \left[ {1 + x} \right] - \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{x}{2} + C.\end{array}\]
LG b
b] \[\int {[{x^2} + 2x - 1]{e^x}dx}\]
Lời giải chi tiết:
\[\;\int {\left[ {{x^2} + 2x - 1} \right]{e^x}dx.} \]
Đặt: \[\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} + 2x - 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left[ {2x + 2} \right]dx\\v = {e^x}\end{array} \right..\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\left[ {{x^2} + 2x - 1} \right]{e^x}dx= \left[ {{x^2} + 2x - 1} \right]{e^x} - \int {\left[ {2x + 2} \right]{e^x}dx} } \\ = \left[ {{x^2} + 2x - 1} \right]{e^x} - 2\int {\left[ {x + 1} \right]{e^x}dx} .\end{array}\]
Xét \[\int {\left[ {x + 1} \right]{e^x}dx:} \]
Đặt: \[\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right..\]
\[\begin{array}{l}\Rightarrow \int {\left[ {x + 1} \right]{e^x}dx} \\= \left[ {x + 1} \right]{e^x} - \int {{e^x}dx} \\ = \left[ {x + 1} \right]{e^x} - {e^x} + C = x{e^x} + C.\\ \Rightarrow \int {\left[ {{x^2} + 2x - 1} \right]{e^x}dx} \\= \left[ {{x^2} + 2x - 1} \right]{e^x} - 2x{e^x} + C\\ = \left[ {{x^2} - 1} \right]{e^x} + C.\end{array}\]
LG c
c] \[x\sin[2x+1]dx\];
Lời giải chi tiết:
\[\;\;\int {x\sin \left[ {2x + 1} \right]dx} .\]
Đặt: \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin \left[ {2x + 1} \right]dx\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \dfrac{1}{2}\cos \left[ {2x + 1} \right]\end{array} \right..\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\sin \left[ {2x + 1} \right]dx} \\= - \dfrac{1}{2}x\cos \left[ {2x + 1} \right] + \dfrac{1}{2}\int {\cos \left[ {2x + 1} \right]dx} \\ = - \dfrac{1}{2}x\cos \left[ {2x + 1} \right] + \dfrac{1}{4}\sin \left[ {2x + 1} \right] + C.\end{array}\]
LG d
d] \[\int [1-x]\cos xdx\]
Lời giải chi tiết:
\[\;\;\int {\left[ {1 - x} \right]\cos xdx} \]
Đặt: \[\left\{ \begin{array}{l}u = 1 - x\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - dx\\v = \sin x\end{array} \right..\]
\[\begin{array}{l}\Rightarrow \int {\left[ {1 - x} \right]\cos xdx} \\= \left[ {1 - x} \right]\sin x + \int {\sin xdx} \\= \left[ {1 - x} \right]\sin x - \cos x + C.\end{array}\]