- LG a
- LG b
- LG c
Cho bốn điểm A[1 ; 0 ; 0], B[0 ; 1 ; 0], C[0 ; 0 ; 1] và D[-2 ; 1 ; -2].
LG a
Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
Phương pháp giải:
Chứng minh\[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \]không đồng phẳng hay \[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \ne 0\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left[ { - 1;1;0} \right],\overrightarrow {AC} = \left[ { - 1;0;1} \right],\cr &\overrightarrow {AD} = \left[ { - 3;1; - 2} \right] \cr
& \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cr &= \left[ {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
0\,\,\,\, - 1 \hfill \cr
1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
- 1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right] \cr &= \left[ { 1;1; 1} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \cr &= 1 .[-3]+ 1.1 +1.[-2] = - 4 \ne 0 \cr} \]
Do đó ba vectơ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \]không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
LG b
Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai véc tơ \[\cos \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có \[\overrightarrow {CD} = \left[ { - 2;1; - 3} \right],\overrightarrow {BD} = \left[ { - 2;0; - 2} \right],\] \[\overrightarrow {BC} = \left[ {0; - 1;1} \right]\].
Gọi \[\alpha ,\beta ,\gamma \]lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC thì
\[\eqalign{
& \cos \alpha = \left| {\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]} \right| \cr &= {{\left| {2 + 1 + 0} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = {{3\sqrt 7 } \over {14}} \cr
& \cos \beta = \left| {\cos \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|\cr & = {{\left| {2 + 0 - 2} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt 8 }} = 0 \Rightarrow AC \bot BD \cr
& \cos \gamma = \left| {\cos \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right]} \right| \cr & = {{\left| {0 - 1 - 2} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = {{3\sqrt 7 } \over {14}} \cr} \]
LG c
Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Phương pháp giải:
Tính thể tích theo công thức\[V = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\]
Lời giải chi tiết:
Thể tích tứ diện ABCD là: \[V = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| \] \[= {1 \over 6}\left| { - 4} \right| = {2 \over 3}\]
Gọi \[{h_A}\]là đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Ta có:
\[\eqalign{
& V = {1 \over 3}{h_A}.{S_{BCD}} \Rightarrow {h_A} = {{3V} \over {{S_{BCD}}}} \cr
& {S_{BCD}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right| = \sqrt 3 \cr} \]
Vậy \[{h_A} = {{3.{2 \over 3}} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3}\]