- LG a
- LG b
- LG c
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \[y = {{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}}\]
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \[D = \mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\]
Sự biến thiên:
\[\eqalign{
& y' = \frac{{\left[ {4x - 1} \right]\left[ {x - 1} \right] - \left[ {2{x^2} - x + 1} \right]}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\cr&= {{2{x^2} - 4x} \over {{{[x - 1]}^2}}} \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x = 0\cr& \Leftrightarrow 2x\left[ {x - 2} \right] = 0\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Hàm số đồng biến trên khoảng \[[ - \infty ;0]\] và \[[2; + \infty ]\]
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[[0;1]\] và \[[1;2]\]
Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \[x=0\], \[y_{CĐ}=1\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=2\], \[y_{CT}=7\]
Giới hạn:
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = + \infty \]
Tiệm cận đứng là: \[x=1\]
\[\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{2{x^2} - x + 1} \over {{x^2} - x}} = 2 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [y - 2x] \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {{{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}} - 2x} \right] = 1 \cr} \]
Tiệm cận xiên là: \[y=2x+1\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị cắt \[Oy\] tại điểm \[[0;-1]\]
LG b
Với các giá trị nào của m đường thẳng \[y = m x\] cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt?
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong đã cho là nghiệm của phương trình
\[\eqalign{
& {{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}} = m - 1\cr& \Rightarrow 2{x^2} - x + 1 = \left[ {x - 1} \right]\left[ {m - x} \right] \cr
&\Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 = - {x^2} + \left[ {m + 1} \right]x - m\cr& \Leftrightarrow 3{x^2} - \left[ {m + 2} \right]x + m + 1 = 0\,\,\left[ 1 \right] \cr} \]
Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt khác 1
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
f\left[ 1 \right] \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {m + 2} \right]^2} - 12\left[ {m + 1} \right] > 0\\
{3.1^2} - \left[ {m + 2} \right].1 + m + 1 \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 8m - 8 > 0\\
2 \ne 0\left[ {\text{đúng}} \right]
\end{array} \right.
\end{array}\]
\[\Leftrightarrow m < 4 - 2\sqrt 6 \,\,\text{hoặc}\,\,m > 4 + 2\sqrt {6\,\,} \,\left[ 2 \right]\]
LG c
Gọi \[A\] và \[B\] là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] khi \[m\] biến thiên.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm \[A, B\] là các nghiệm của [1]
Hoành độ trung điểm \[M\] của \[AB\] là: \[{x_M} = {1 \over 2}\left[ {{x_A} + {x_B}} \right] = {{m + 2} \over 6}\]
Vì M nằm trên đường thẳng y = m x nên \[{y_M} = m - {x_M} = m - {{m + 2} \over 6} = {{5m - 2} \over 6}\]
Khử \[m\] từ hệ
\[\left\{ \matrix{
{x_M} = {{m + 2} \over 6} \hfill \cr
{y_M} = {{5m - 2} \over 6} \hfill \cr} \right.\] ta có:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
6{x_M} = m + 2\\
6{y_M} = 5m - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 6{x_M} - 2\\
6{y_M} = 5.\left[ {6{x_M} - 2} \right] - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 6{x_M} - 2\\
6{y_M} = 30{x_M} - 12
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 6{x_M} - 2\\
{y_M} = 5{x_M} - 2
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[M\] nằm trên đường thẳng \[y = 5x -2\]
Vì \[m\] chỉ lấy giá trị thỏa mãn [2] nên:
\[m < 4 - 2\sqrt 6 \] \[\Rightarrow m = 6{x_M} - 2 < 4 - 2\sqrt 6 \] \[\Leftrightarrow 6{x_M} < 6 - 2\sqrt 6 \]\[\Rightarrow {x_M} < 1 - {{\sqrt 6 } \over 3}\]
\[m > 4 + 2\sqrt 6 \] \[\Rightarrow m = 6{x_M} - 2 > 4 + 2\sqrt 6 \] \[\Leftrightarrow 6{x_M} > 6 + 2\sqrt 6 \] \[\Rightarrow {x_M} > 1 + {{\sqrt 6 } \over 3}\]
Vậy tập hợp các trung điểm \[M\] của đoạn \[AB\] là phần của đường thẳng \[y = 5x -2\] với \[{x_M} < 1 - {{\sqrt 6 } \over 3}\] hoặc \[{x_M} > 1 + {{\sqrt 6 } \over 3}\]