- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải và biện luận các bất phương trình:
LG a
\[mx + 4 > 2x + {m^2}\]
Phương pháp giải:
Biến đổi bpt về dạng\[x \le b\left[ {ax \ge b,ax < b,ax > b} \right]\] rồi xét các trường hợp \[a > 0, a < 0, a=0\] suy ra tập nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}mx + 4 > 2x + {m^2}\\ \Leftrightarrow mx - 2x > {m^2} - 4\\ \Leftrightarrow \left[ {m - 2} \right]x > \left[ {m - 2} \right]\left[ {m + 2} \right]\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
+] Nếu \[m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > 2\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow x > \dfrac{{\left[ {m - 2} \right]\left[ {m + 2} \right]}}{{m - 2}} = m + 2\]
\[ \Rightarrow S = \left[ {m + 2; + \infty } \right]\]
+] Nếu \[m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow x < \dfrac{{\left[ {m - 2} \right]\left[ {m + 2} \right]}}{{m - 2}} = m + 2\]
\[ \Rightarrow S = \left[ { - \infty ;m + 2} \right]\]
+] Nếu \[m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow 0x > 0\] [vô lý]
\[ \Rightarrow S = \emptyset \]
Vậy,
+ Nếu \[m > 2\] thì \[S = [m + 2, +]\]
+ Nếu \[m < 2\] thì \[S = [-; m + 2]\]
+ Nếu \[m = 2\] thì \[S = Ø\]
LG b
\[2mx + 1 \ge x + 4{m^2}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}2mx + 1 \ge x + 4{m^2}\\ \Leftrightarrow 2mx - x \ge 4{m^2} - 1\\ \Leftrightarrow \left[ {2m - 1} \right]x \ge \left[ {2m - 1} \right]\left[ {2m + 1} \right]\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
+] Nếu \[2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{\left[ {2m - 1} \right]\left[ {2m + 1} \right]}}{{2m - 1}} = 2m + 1\]
\[ \Rightarrow S = \left[ {2m + 1; + \infty } \right]\]
+] Nếu \[2m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{2}\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow x \le \dfrac{{\left[ {2m - 1} \right]\left[ {2m + 1} \right]}}{{2m - 1}} = 2m + 1\]
\[ \Rightarrow S = \left[ { - \infty ;2m + 1} \right]\]
+] Nếu \[2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow 0x \ge 0\] [luôn đúng]
\[ \Rightarrow S = \mathbb{R}\]
Vậy,
+ Nếu \[m > {1 \over 2}\]thì \[S = [2m +1; +]\]
+ Nếu \[m < {1 \over 2}\]thì \[S = [-; 2m + 1]\]
+ Nếu \[m = {1 \over 2}\]thì \[S =\mathbb R\]
LG c
\[x\left[ {{m^2} - 1} \right] < {m^4} - 1\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}x\left[ {{m^2} - 1} \right] < {m^4} - 1\\ \Leftrightarrow x\left[ {{m^2} - 1} \right] < \left[ {{m^2} - 1} \right]\left[ {{m^2} + 1} \right]\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
+] Nếu \[{m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow x < \dfrac{{\left[ {{m^2} - 1} \right]\left[ {{m^2} + 1} \right]}}{{{m^2} - 1}} = {m^2} + 1\]
\[ \Rightarrow S = \left[ { - \infty ;{m^2} + 1} \right]\]
+] Nếu \[{m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow x > \dfrac{{\left[ {{m^2} - 1} \right]\left[ {{m^2} + 1} \right]}}{{{m^2} - 1}} = {m^2} + 1\]
\[ \Rightarrow S = \left[ {{m^2} + 1; + \infty } \right]\]
+] Nếu \[{m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow 0x < 0\][vô lý]
\[ \Rightarrow S = \emptyset \]
Vậy,
+ Nếu \[\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\] thì \[S = \left[ { - \infty ;{m^2} + 1} \right]\].
+ Nếu \[ - 1 < m < 1\] \[S = \left[ {{m^2} + 1; + \infty } \right]\].
+ Nếu \[m = \pm 1\] thì \[S = \emptyset \].
LG d
\[2\left[ {m + 1} \right]x \le {\left[ {m + 1} \right]^2}\left[ {x - 1} \right]\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}2\left[ {m + 1} \right]x \le {\left[ {m + 1} \right]^2}\left[ {x - 1} \right]\\ \Leftrightarrow \left[ {2m + 2} \right]x \le {\left[ {m + 1} \right]^2}x - {\left[ {m + 1} \right]^2}\\ \Leftrightarrow \left[ {2m + 2 - {m^2} - 2m - 1} \right]x \le - {\left[ {m + 1} \right]^2}\\ \Leftrightarrow \left[ {1 - {m^2}} \right]x \le - {\left[ {m + 1} \right]^2}\\ \Leftrightarrow \left[ {{m^2} - 1} \right]x \ge {\left[ {m + 1} \right]^2}\end{array}\]
+] Nếu \[{m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{{{\left[ {m + 1} \right]}^2}}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}\]
\[ \Rightarrow S = \left[ {\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}; + \infty } \right]\]
+] Nếu \[{m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow x \le \dfrac{{{{\left[ {m + 1} \right]}^2}}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}\]
\[ \Rightarrow S = \left[ { - \infty ;\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}} \right]\]
+] Nếu \[{m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\]
Với \[m = 1\] thì [*] là \[0x \ge 4\] [vô lý]
\[ \Rightarrow S = \emptyset \]
Với \[m = - 1\] thì [*] là \[0x \ge 0\] [luôn đúng]
\[ \Rightarrow S = \mathbb{R}\]
Vậy,
+ Nếu \[\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\] thì \[S = \left[ {\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}; + \infty } \right]\].
+ Nếu \[ - 1 < m < 1\] thì \[S = \left[ { - \infty ;\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}}} \right]\].
+ Nếu \[m = 1\] thì \[S = \emptyset \].
+ Nếu \[m = - 1\] thì \[S = \mathbb{R}\].