Đề bài
\[ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\]là một hình lập phương [h.104]
a] Khi ta nối \[A\] với \[C_1\]và \[B\] với \[D_1\]thì hai đường thẳng \[AC_1\]và \[BD_1\]có cắt nhau hay không?
b] \[AC_1\]và \[A_1C\] có cắt nhau hay không?
c] Câu hỏi tương tự câu b với \[BD_1\]và \[A_1A.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
-Hình hộp chữ nhật là hình không gian có \[6\] mặt đều là những hình chữ nhật.
- Tứ giác có hai cạnh song song và bằng nhau là hình bình hành.
- Hình chữ nhật, hình bình hành đều có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[AB // CD\] và \[AB = CD\] [vì \[ABCD\] là hình chữ nhật].
\[CD // C_1D_1\]và \[CD = C_1D_1\].
Suy ra: \[AB // C_1D_1\]và \[AB =C_1D_1\].
Do đó tứ giác \[ABC_1D_1\]là hình bình hành nên \[AC_1\]và \[BD_1\]cắt nhau [hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường].
b] Vì các điểm \[A, C, C_1\]và \[A_1\]cùng thuộc \[mp[ACC_1A_1]\]mà \[ACC_1A_1\]là một hình bình hành [do \[AA_1=CC_1;AA_1//CC_1]\] nên \[AC_1\]cắt \[A_1C.\]
c] Vì \[BD_1\]không thuộc \[mp[ADD_1A_1]\], không thuộc \[mp[ABB_1A_1]\] và cũng không thuộc \[mp[ACC_1A_1]\] nên \[BD_1\]và \[AA_1\]không cắt nhau.