Đề bài
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA\] vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua \[A\] và vuông góc với \[SC\] cắt \[SB,SC\] lần lượt tại \[M,N\]. Biết rằng \[SA = AC = 5\], \[AB = 3,BC = 4\]. Thể tích khối chóp \[S.AMN\] bằng
A. \[\dfrac{{125}}{{68}}\] B. \[\dfrac{{125}}{{34}}\]
C. \[\dfrac{{175}}{{34}}\] D. \[\dfrac{{125}}{{17}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính tỉ số diện tích hai tam giác \[SMN\] và \[SBC\].
- Từ đó suy ra tỉ số thể tích khối chóp \[S.AMN\] so với \[S.ABC\].
- Tính \[{V_{S.ABC}}\] và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[SC \bot \left[ {AMN} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SC \bot AM\\SC \bot MN\end{array} \right.\].
Tam giác \[ABC\] có:
\[A{C^2} =5^2=25\]
\[A{B^2} + B{C^2}=3^2+4^2=25 \]
nên \[AC^2=AB^2+BC^2\] hay tam giác ABC vuông tại \[B\].
Suy ra \[AB \bot BC\], mà \[SA \bot BC\] nên \[BC \bot \left[ {SAB} \right] \Rightarrow BC \bot SB\].
Xét tam giác SMN và SCB có: \[\widehat {SNM} = \widehat {SBC} = {90^0}\] và chung góc S
\[ \Rightarrow \Delta SMN \backsim \Delta SCB\left[ {g - g} \right]\] \[ \Rightarrow \dfrac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCB}}}} = {\left[ {\dfrac{{SN}}{{SB}}} \right]^2}\]
Tam giác \[SAC\] vuông cân tại \[A\] có \[AN \bot SC\] \[ \Rightarrow SN = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{1}{2}\sqrt {{5^2} + {5^2}} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\].
Tam giác \[SAB\] có \[SA = 5,AB = 3 \Rightarrow SB = \sqrt {34} \]
\[ \Rightarrow \dfrac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCB}}}} = {\left[ {\dfrac{{SN}}{{SB}}} \right]^2} = \dfrac{{25}}{{68}}\]\[ \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{25}}{{68}}\].
Mà \[{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} \] \[= \dfrac{1}{3}.5.\dfrac{1}{2}.3.4 = 10\] nên \[{V_{S.AMN}} = \dfrac{{25}}{{68}}.10 = \dfrac{{125}}{{34}}\].
Chọn B.