Đề bài
Tìm giá trị của tham số \[m\]để hàm số
\[f\left[ x \right] = \left\{ \matrix{
{{\sqrt x - 1} \over {{x^2} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 1 \hfill \cr
{m^2}{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 1 \hfill \cr} \right.\] liên tục trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục tại \[{x_0}\] \[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]\]
Lời giải chi tiết
Trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\backslash \left\{ 1 \right\}\] thì \[f\left[ x \right] = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} - 1}}\] là hàm phân thức nên liên tục.
Tại \[x = 1\] ta có:
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 1} \right]}}{{\left[ {{x^2} - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 1}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]\left[ {\sqrt x + 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {\sqrt x + 1} \right]}}\\ = \dfrac{1}{{\left[ {1 + 1} \right]\left[ {\sqrt 1 + 1} \right]}} = \dfrac{1}{4}\end{array}\]
Để hàm số liên tục trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\] thì nó liên tục tại \[x = 1\]
\[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left[ x \right] = f\left[ 1 \right]\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} = {m^2} \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{1}{2}\]
Vậy \[m = \pm \dfrac{1}{2}\].