Đề bài
Cho hai đường thẳng d và d chéo nhau.Trên d đặt hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau AB và BC [B ở giữa A và C]; trên d đặt hai đoạn thẳng liên tiếp cũng bằng nhau AB và BC [B ở giữa A và C]. Chứng minh rằng AA + CC > 2 BB.
Lời giải chi tiết
Gọi [P] là mặt phẳng đi qua AA và song song với BB. Theo định lí Ta-lét, ta cũng có CC // mp[P]. Xét phép chiếu song song lên mp[P] theo phương chiếu d, ta được hình chiếu của A, B, C tương ứng là A, B1, C1. Khi đó ba điểm A, B1, C1thẳng hàng. Ta có CC1// CA và vì CC // mp[P] nên giao tuyến AC1của mp[CCC1A] với mp[P] song song với CC. Do đó tứ giác CCC1A là hình bình hành, nên AC1= CC. Tương tự như vậy, ta cũng chứng minh được AB1= BB. Ta phải chứng minh AA +AC1> 2AB1.
Thật vậy, vì B là trung điểm của AC nên B1là trung điểm của cạnh AC1của tam giác AAC1. Từ đó dễ thấy tổng của hai cạnh AA và AC1trong tam giác AAC1lớn hơn hai lần trung tuyến ứng với cạnh thứ ba.