Đề bài
Tính \[\cos \dfrac{\pi }{8}\] và \[\sin \dfrac{\pi }{8}\] bằng phương pháp hình học như sau:
Xét tam giác vuông ABC với
\[\widehat A = \dfrac{\pi }{2};\widehat C = \dfrac{\pi }{8}\] thì \[\cos \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{{AC}}{{BC}};\sin \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{{AB}}{{BC}}\].
Bằng cách xét điểm E trên cạnh AC sao cho \[AE = AB\] [h. 6.4], hãy chứng minh rằng:
\[\cos \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2},\sin \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\]
Lời giải chi tiết
Coi AB có độ dài là 1 thì dễ thấy \[AE = AB = 1,BE = CE = \sqrt 2 ;\]
\[AC = AE + EC = 1 + \sqrt 2 ;\]
\[BC = \sqrt {1 + {{\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]}^2}} = \sqrt {2\left[ {2 + \sqrt 2 } \right]}.\]
Từ đó \[\cos \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2\left[ {2 + \sqrt 2 } \right]} }} = \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2};\]
\[\sin \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{1}{{\sqrt {2\left[ {2 + \sqrt 2 } \right]} }} = \dfrac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}.\]