- LG a
- LG b
- LG c
Chứng minh rằng nếu các số a, b, c đều dương thì:
LG a
\[\left[ {a + b + c} \right]\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right] \ge 9abc\]
Lời giải chi tiết:
Do \[a, b, c > 0\] nên \[a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\] và \[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}.\]
Suy ra \[\left[ {a + b + c} \right]\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right] \ge 9\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}{c^3}}} = 9abc.\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[a = b = c.\]
LG b
\[\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge a + b + c\]
Lời giải chi tiết:
áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có
\[\dfrac{{ab}}{c} + \dfrac{{bc}}{a} \ge 2b;\] \[\dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge 2a;\] \[\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} \ge 2c,\] nên
\[\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge a + b + c.\]
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
LG c
\[\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}\]\[ \ge \dfrac{{ab}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{c + a}}\]
Lời giải chi tiết:
\[\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{b + c}}{4} \ge a;\] \[\dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{a + c}}{4} \ge b;\] \[\dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{a + b}}{4} \ge c.\]
Do đó \[\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}.\]
Mặt khác từ bất đẳng thức \[{\left[ {x + y} \right]^2} \ge 4xy\] và \[x, y > 0\] ta suy ra :
\[\dfrac{{2ab}}{{a + b}} \le \dfrac{{a + b}}{2};\] \[\dfrac{{2bc}}{{b + c}} \le \dfrac{{b + c}}{2};\] \[\dfrac{{2ca}}{{c + a}} \le \dfrac{{c + a}}{2}.\]
Cộng từng vế các bất đẳng thức và chia hai vế cho 2 ta được
\[\dfrac{{ab}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{c + a}} \le \dfrac{{a + b + c}}{2}.\]
Đẳng thức xảy ra khi \[a = b = c.\]