\[\begin{array}{l}{\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha \\ = {\left[ {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right]^3} - 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \left[ {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right]\\ = 1 - 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \\ = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha \end{array}\]
Đề bài
Tìm giá trị bé nhất của biểu thức \[{\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha .\]
Lời giải chi tiết
\[\begin{array}{l}{\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha \\ = {\left[ {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right]^3} - 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \left[ {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right]\\ = 1 - 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \\ = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha \end{array}\]
Vậy biểu thức đã cho lấy giá trị nhỏ nhất là \[\dfrac{1}{4}\] khi \[{\sin ^2}2\alpha = 1\].