- LG a
- LG b
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
LG a
\[\sin A = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\sin B + \sin C}}\] thì tam giác ABC là tam giác vuông;
Lời giải chi tiết:
Vì \[\sin A = 2\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{A}{2}\] và
\[\begin{array}{l}\dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\sin B + \sin C}} = \dfrac{{2\cos \dfrac{{B + C}}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}}}{{2\sin \dfrac{{B + C}}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}}}\\ = \dfrac{{\cos \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{A}{2}} \right]}}{{\sin \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{A}{2}} \right]}} = \dfrac{{\sin \dfrac{A}{2}}}{{\cos \dfrac{A}{2}}}\end{array}\]
nên dễ thấy
\[\begin{array}{l}\sin A = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\sin B + \sin C}}\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\dfrac{A}{2} = 1 \Leftrightarrow \cos A = 0\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \widehat A\] là góc vuông.
LG b
\[\dfrac{{\sin A}}{{\sin B}} = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\cos C + \cos A}}\] thì tam giác ABC là một tam giác vuông hoặc một tam giác cân.
Lời giải chi tiết:
Cách 1
\[\begin{array}{l}\dfrac{{\sin A}}{{\sin B}} = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\cos C + \cos A}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{A}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{B}{2}}} = \dfrac{{\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{{C - A}}{2}}}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{C - A}}{2} = \cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{C}{2} + \cos \left[ {A - \dfrac{C}{2}} \right]\\ = \cos \left[ {B - \dfrac{C}{2}} \right] + \cos \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left[ {A - \dfrac{C}{2}} \right] = \cos \left[ {B - \dfrac{C}{2}} \right]\\ \Leftrightarrow \left| {A - \dfrac{C}{2}} \right| = \left| {B - \dfrac{C}{2}} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat B\\\widehat A + \widehat B = \widehat C.\end{array} \right.\end{array}\]
Cách 2
\[\begin{array}{l}\dfrac{{\sin A}}{{\sin B}} = \dfrac{{\cos B + \cos C}}{{\cos C + \cos A}}\\ \Leftrightarrow \sin A\cos A - \sin B\cos B\\ = \cos C\left[ {\sin B - \sin A} \right]\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {\sin 2A - \sin 2B} \right]\\ = \cos C\left[ {\sin B - \sin A} \right]\\ \Leftrightarrow \cos \left[ {A + B} \right]\sin \left[ {A - B} \right]\\ = 2\cos C\cos \dfrac{{B + A}}{2}\sin \dfrac{{B - A}}{2}\\ \Leftrightarrow - \cos C\sin \dfrac{{A - B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2}\\ = - \cos C\sin \dfrac{{A - B}}{2}\cos \dfrac{{A + B}}{2}\\ \Leftrightarrow \cos C\sin \dfrac{{A - B}}{2}\left[ {\cos \dfrac{{A + B}}{2} - \cos \dfrac{{A - B}}{2}} \right]\\ = 0\\ \Leftrightarrow \cos C\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{{A - B}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos C = 0\\\sin \dfrac{{A - B}}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\widehat C\,\,vuông\\\widehat A = \widehat B\end{array} \right.\end{array}\]