Đề bài
Trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD lấy các điểm E và F sao cho
\[\widehat {EAF} = 45^\circ \]. Các đoạn thẳng AE, AF cắt BD theo thứ tự ở H và K. Chứng minh tứ giác EHKF nội tiếp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tứ giác có 2 góc bằng nhau cùng nhìn 1 cạnh thì nội tiếp được. Ta chứng minh góc FKE bằng góc FHE bằng 90 độ cùng nhìn cạnh EF.
Lời giải chi tiết
Ta có tứ giác ADFH có \[\widehat {EAF} = \widehat {BDC} = 45^\circ \]
Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh HF. Nên tứ giác ADFH nội tiếp
\[ \Rightarrow \widehat {ADF} + \widehat {AHF} = 180^\circ \] mà \[\widehat {ADF} = 90^\circ \]
\[\Rightarrow \widehat {AHF} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {FHE} = 90^\circ .\]
Chứng minh tương tự ta có \[\widehat {FKE} = 90^\circ \].
Suy ra tứ giác EHKF có góc FHE = góc FKE vàcùng nhìn cạnh EF
Do đó EHKF là tứ giác nội tiếp.