Phép cộng và phép nhân Quy tắc xác suất Worksheet pdf

Khi tính toán xác suất, có hai quy tắc cần xem xét khi xác định xem hai sự kiện là độc lập hay phụ thuộc và liệu chúng có loại trừ lẫn nhau hay không

Quy tắc nhân

Nếu A và B là hai biến cố xác định trên một không gian mẫu thì

\[P(A \text{ AND } B) = P(B)P(A. B) \nhãn{eq1}\]

Quy tắc này cũng có thể được viết là

\[P(A. B) = \dfrac{P(A \text{ AND } B)}{P(B)} \nonumber\]

(Xác suất của \(A\) cho \(B\) bằng xác suất của \(A\) và \(B\) chia cho xác suất của \(B\). )

Nếu \(A\) và \(B\) độc lập thì

\[P(A. B) = P(A). \không có số\]

và Phương trình \ref{eq1} trở thành

\[P(A \text{ AND } B) = P(A)P(B). \không có số\]

Quy tắc cộng

Nếu A và B xác định trên một không gian mẫu thì

\[P(A \text{ OR } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ AND } B) \label{eq5}\]

Nếu A và B loại trừ lẫn nhau thì

\[P(A \text{ VÀ } B) = 0. \không có số\]

và Phương trình \ref{eq5} trở thành

\[P(A \text{ OR } B) = P(A) + P(B). \không có số\]

Ví dụ \(\PageIndex{1}\)

Klaus đang cố gắng chọn nơi để đi nghỉ. Hai lựa chọn của anh ấy là. \(\text{A} = \text{New Zealand}\) và \(\text{B} = \text{Alaska}\)

• Klaus chỉ đủ khả năng chi trả cho một kỳ nghỉ. Xác suất để anh ta chọn \(\text{A}\) là \(P(\text{A}) = 0. 6\) và xác suất anh ta chọn \(\text{B}\) là \(P(\text{B}) = 0. 35\)
• \(P(\text{A AND B}) = 0\) vì Klaus chỉ có thể đi nghỉ một lần
• Do đó, xác suất anh ta chọn New Zealand hoặc Alaska là \(P(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) = 0. 6 + 0. 35 = 0. 95\). Lưu ý rằng xác suất anh ta không chọn đi đâu trong kỳ nghỉ phải bằng 0. 05

Carlos chơi bóng đá ở trường đại học. Anh ấy ghi bàn trong 65% thời gian anh ấy sút. Carlos sẽ cố gắng ghi hai bàn liên tiếp trong trận tiếp theo. \(\text{A} =\) sự kiện Carlos thành công trong lần thử đầu tiên. \(P(\text{A}) = 0. 65\). \(\text{B} =\) sự kiện Carlos thành công trong lần thử thứ hai. \(P(\text{B}) = 0. 65\). Carlos có xu hướng sút liên tục. Xác suất để anh ta ghi bàn thắng thứ hai GIỮA anh ta ghi bàn thắng đầu tiên là 0. 90

1. Xác suất để anh ta thực hiện cả hai mục tiêu là gì?
2. Xác suất để Carlos ghi bàn đầu tiên hoặc bàn thắng thứ hai là bao nhiêu?
3. \(\text{A}\) và \(\text{B}\) có độc lập không?
4. \(\text{A}\) và \(\text{B}\) có loại trừ lẫn nhau không?

Các giải pháp

a. Vấn đề yêu cầu bạn tìm \(P(\text{A AND B}) = P(\text{B AND A})\). Vì \(P(\text{B. A}) = 0. 90. P(\text{B AND A}) = P(\text{B. A}) P(\text{A}) = (0. 90)(0. 65) = 0. 585\)

Carlos ghi bàn thứ nhất và thứ hai với xác suất bằng 0. 585

b. Vấn đề là yêu cầu bạn tìm \(P(\text{A OR B})\)

\[P(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) - P(\text{A AND B}) = 0. 65 + 0. 65 - 0. 585 = 0. 715\]

Carlos ghi bàn đầu tiên hoặc bàn thắng thứ hai với xác suất 0. 715

c. Không, không phải, vì \(P(\text{B AND A}) = 0. 585\)

\[P(\text{B})P(\text{A}) = (0. 65)(0. 65) = 0. 423\]

\[0. 423 \neq 0. 585 = P(\text{B AND A})\]

Vì vậy, \(P(\text{B AND A})\) không bằng \(P(\text{B})P(\text{A})\)

d. Không, chúng không phải vì \(P(\text{A and B}) = 0. 585\)

Để loại trừ lẫn nhau, \(P(\text{A AND B})\) phải bằng 0

Bài tập \(\PageIndex{1}\)

Helen chơi bóng rổ. Đối với những quả ném phạt, cô ấy thực hiện được 75% thời gian. Helen bây giờ phải thử hai quả ném phạt. \(\text{C} =\) sự kiện Helen thực hiện cú đánh đầu tiên. \(P(\text{C}) = 0. 75\). \(\text{D} =\) sự kiện Helen bắn lần thứ hai. \(P(\text{D}) = 0. 75\). Xác suất để Helen thực hiện quả ném phạt thứ hai khi cô ấy thực hiện quả ném phạt đầu tiên là 0. 85. Xác suất để Helen thực hiện cả hai quả ném phạt là bao nhiêu?

Câu trả lời

\[P(\text{D. C}) = 0. 85\]

\[P(\text{C AND D}) = P(\text{D AND C})\]

\[P(\text{D AND C}) = P(\text{D. C})P(\text{C}) = (0. 85)(0. 75) = 0. 6375\]

Helen thực hiện quả ném phạt thứ nhất và thứ hai với xác suất bằng 0. 6375

Ví dụ \(\PageIndex{2}\)

Một đội bơi cộng đồng có 150 thành viên. Bảy mươi lăm thành viên là những vận động viên bơi lội chuyên nghiệp. Bốn mươi bảy thành viên là vận động viên bơi lội trung cấp. Phần còn lại là những người mới biết bơi. Bốn mươi vận động viên bơi lội nâng cao luyện tập bốn lần một tuần. Ba mươi vận động viên bơi lội trung cấp tập luyện bốn lần một tuần. Mười người mới tập bơi bốn lần một tuần. Giả sử một thành viên của đội bơi được chọn ngẫu nhiên

1. Xác suất để thành viên đó là người mới tập bơi là bao nhiêu?
2. Xác suất để thành viên đó luyện tập bốn lần một tuần là bao nhiêu?
3. Xác suất để thành viên đó là một vận động viên bơi lội chuyên nghiệp và luyện tập bốn lần một tuần là bao nhiêu?
4. Xác suất mà một thành viên là một vận động viên bơi lội nâng cao và một vận động viên bơi lội trung cấp là gì?
5. Bạn đang là một người mới tập bơi và luyện tập các sự kiện độc lập bốn lần một tuần?

Câu trả lời

1. \(\dfrac{28}{150}\)
2. \(\dfrac{80}{150}\)
3. \(\dfrac{40}{150}\)
4. \(P(\text{nâng cao VÀ trung cấp}) = 0\), vì vậy đây là những sự kiện loại trừ lẫn nhau. Một vận động viên bơi lội không thể đồng thời là một vận động viên bơi lội nâng cao và một vận động viên bơi lội trung cấp
5. Không, đây không phải là những sự kiện độc lập. \[P(\text{người mới VÀ thực hành bốn lần mỗi tuần}) = 0. 0667\]\[P(\text{người mới})P(\text{thực hành bốn lần mỗi tuần}) = 0. 0996\] \[0. 0667 \neq 0. 0996\]

Bài tập \(\PageIndex{2}\)

Một trường học có 200 học sinh cuối cấp, trong đó 140 học sinh sẽ vào đại học vào năm tới. Bốn mươi sẽ trực tiếp đi làm. Số còn lại đang học gap year. Năm mươi học sinh cuối cấp vào đại học chơi thể thao. Ba mươi người cao niên trực tiếp đi làm chơi thể thao. Năm học sinh cuối cấp tham gia gap year chơi thể thao. Xác suất để một sinh viên năm cuối nghỉ gap year là bao nhiêu?

Câu trả lời

\[P = \dfrac{200-140-40}{200} = \dfrac{20}{200} = 0. 1\]

Ví dụ \(\PageIndex{3}\)

Felicity tham dự Modesto JC ở Modesto, CA. Xác suất để Felicity đăng ký vào một lớp toán là 0. 2 và xác suất để cô ấy đăng ký vào một lớp diễn thuyết là 0. 65. Xác suất để cô ấy đăng ký vào một lớp toán GIỮA cô ấy đăng ký vào lớp nói là 0. 25

Cho phép. \(\text{M} =\) lớp toán, \(\text{S} =\) lớp nói, \(\text{M. S} =\) bài phát biểu toán học

1. Xác suất để Felicity đăng ký môn toán và nói là bao nhiêu?
   Tìm \(P(\text{M AND S}) = P(\text{M. S})P(\text{S})\)
2. Xác suất để Felicity đăng ký vào lớp toán hoặc lớp diễn thuyết là bao nhiêu?
   Tìm \(P(\text{M OR S}) = P(\text{M}) + P(\text{S}) - P(\text{M AND S})\)
3. \(\text{M}\) và \(\text{S}\) có độc lập không? . S}) = P(\text{M})\)?
4. \(\text{M}\) và \(\text{S}\) có loại trừ lẫn nhau không?

Câu trả lời

a. 0. 1625, b. 0. 6875, c. không, d. Không

Bài tập \(\PageIndex{3}\)

một sinh viên đi đến thư viện. Giả sử các sự kiện \(\text{B} =\) sinh viên xem một cuốn sách và \(\text{D} =\) sinh viên xem một đĩa DVD. Giả sử rằng \(P(\text{B}) = 0. 40, P(\text{D}) = 0. 30\) và \(P(\text{D. B}) = 0. 5\)

1. Tìm \(P(\text{B VÀ D})\)
2. Tìm \(P(\text{B OR D})\)

Câu trả lời

1. \(P(\text{B VÀ D}) = P(\text{D. B})P(\text{B}) = (0. 5)(0. 4) = 0. 20\)
2. \(P(\text{B OR D}) = P(\text{B}) + P(\text{D}) − P(\text{B AND D}) = 0. 40 + 0. 30 − 0. 20 = 0. 50\)

Ví dụ \(\PageIndex{4}\)

Các nghiên cứu cho thấy rằng khoảng một trong bảy phụ nữ (khoảng 14. 3%) sống đến 90 tuổi sẽ bị ung thư vú. Giả sử rằng trong số những phụ nữ bị ung thư vú, xét nghiệm âm tính trong 2% trường hợp. Cũng giả sử rằng trong dân số phụ nữ nói chung, xét nghiệm ung thư vú cho kết quả âm tính khoảng 85% thời gian. Để phụ nữ \(\text{B} =\) bị ung thư vú và để \(\text{N} =\) xét nghiệm âm tính. Giả sử một phụ nữ được chọn ngẫu nhiên

1. Xác suất mà người phụ nữ bị ung thư vú là gì?
2. Cho rằng người phụ nữ bị ung thư vú, xác suất cô ấy xét nghiệm âm tính là bao nhiêu?
3. Xác suất mà người phụ nữ bị ung thư vú VÀ xét nghiệm âm tính là gì?
4. Xác suất mà người phụ nữ bị ung thư vú hoặc xét nghiệm âm tính là gì?
5. Đang bị ung thư vú và thử nghiệm các sự kiện độc lập tiêu cực?
6. Bị ung thư vú và xét nghiệm âm tính loại trừ lẫn nhau?

câu trả lời

1. \(P(\text{B}) = 0. 143; . 85\)
2. \(P(\text{N. B}) = 0. 02\)
3. \(P(\text{B AND N}) = P(\text{B})P(\text{N. B}) = (0. 143)(0. 02) = 0. 0029\)
4. \(P(\text{B OR N}) = P(\text{B}) + P(\text{N}) - P(\text{B AND N}) = 0. 143 + 0. 85 - 0. 0029 = 0. 9901\)
5. Không. \(P(\text{N}) = 0. 85; . B}) = 0. 02\). Vì vậy, \(P(\text{N. B})\) không bằng \(P(\text{N})\)
6. Không. \(P(\text{B VÀ N}) = 0. 0029\). Để \(\text{B}\) và \(\text{N}\) loại trừ lẫn nhau, \(P(\text{B AND N})\) phải bằng không

Bài tập \(\PageIndex{4}\)

Một trường học có 200 học sinh cuối cấp, trong đó 140 học sinh sẽ vào đại học vào năm tới. Bốn mươi sẽ trực tiếp đi làm. Số còn lại đang học gap year. Năm mươi học sinh cuối cấp vào đại học chơi thể thao. Ba mươi người cao niên trực tiếp đi làm chơi thể thao. Năm học sinh cuối cấp tham gia gap year chơi thể thao. Xác suất để một học sinh cuối cấp đi học đại học và chơi thể thao là bao nhiêu?

Câu trả lời

Giả sử sinh viên \(\text{A} =\) là sinh viên năm cuối sắp vào đại học

Hãy để học sinh \(\text{B} =\) chơi thể thao

\(P(\text{B}) = \dfrac{140}{200}\)

\(P(\text{B. A}) = \dfrac{50}{140}\)

\(P(\text{A VÀ B}) = P(\text{B. A})P(\text{A})\)

\(P(\text{A AND B}) = (\dfrac{140}{200}\))(\(\dfrac{50}{140}) = \dfrac{1}{4}\)

Ví dụ \(\PageIndex{5}\)

Tham khảo thông tin trong Ví dụ \(\PageIndex{4}\). \(\text{P} =\) xét nghiệm dương tính

1. Cho rằng một phụ nữ bị ung thư vú, xác suất mà cô ấy xét nghiệm dương tính là bao nhiêu. Tìm \(P(\text{P. B}) = 1 - P(\text{N. B})\)
2. Xác suất mà một phụ nữ bị ung thư vú và xét nghiệm dương tính là bao nhiêu. Tìm \(P(\text{B AND P}) = P(\text{P. B})P(\text{B})\)
3. Xác suất mà một người phụ nữ không bị ung thư vú là gì. Tìm \(P(\text{B′}) = 1 - P(\text{B})\)
4. Xác suất mà một phụ nữ xét nghiệm dương tính với ung thư vú là gì. Tìm \(P(\text{P}) = 1 - P(\text{N})\)

Câu trả lời

a. 0. 98; . 0. 1401; . 0. 857; . 0. 15

Bài tập \(\PageIndex{5}\)

một sinh viên đi đến thư viện. Giả sử các sự kiện \(\text{B} =\) sinh viên xem một cuốn sách và \(\text{D} =\) sinh viên xem một đĩa DVD. Giả sử rằng \(P(\text{B}) = 0. 40, P(\text{D}) = 0. 30\) và \(P(\text{D. B}) = 0. 5\)

1. Tìm \(P(\text{B′})\)
2. Tìm \(P(\text{D AND B})\)
3. Tìm \(P(\text{B. D})\)
4. Tìm \(P(\text{D AND B′})\)
5. Tìm \(P(\text{D. B′})\)

Câu trả lời

1. \(P(\text{B′}) = 0. 60\)
2. \(P(\text{D AND B}) = P(\text{D. B})P(\text{B}) = 0. 20\)
3. \(P(\text{B. D}) = \dfrac{P(\text{B AND D})}{P(\text{D})} = \dfrac{(0. 20)}{(0. 30)} = 0. 66\)
4. \(P(\text{D AND B′}) = P(\text{D}) - P(\text{D AND B}) = 0. 30 - 0. 20 = 0. 10\)
5. \(P(\text{D. B′}) = P(\text{D AND B′})P(\text{B′}) = (P(\text{D}) - P(\text{D AND B}))(0. 60) = (0. 10)(0. 60) = 0. 06\)

Người giới thiệu

1. DiCamillo, Mark, Trường Mervin. “Cuộc thăm dò hồ sơ. ” Tổng công ty nghiên cứu thực địa. Có sẵn trực tuyến tại www. đồng ruộng. com/fieldpollonline. rs/Rls2443. pdf (truy cập ngày 2 tháng 5 năm 2013)
2. Rider, David, “Sự ủng hộ của Ford giảm mạnh, cuộc thăm dò gợi ý,” The Star, ngày 14 tháng 9 năm 2011. Có sẵn trực tuyến tại www. ngôi sao. com/tin tức/gta/2011. _đề xuất. html (truy cập ngày 2 tháng 5 năm 2013)
3. “Sự chấp thuận của thị trưởng xuống. ” Thông cáo báo chí của Forum Research Inc. Có sẵn trực tuyến tại www. diễn đànnghiên cứu. com/forms/News Archives/News Releases/74209_TO_Issues_-_Mayoral_Approval_%28Forum_Research%29%2820130320%29. pdf (truy cập ngày 2 tháng 5 năm 2013)
4. “Cò quay. ”Wikipedia. Có sẵn trực tuyến tại http. // vi. Wikipedia. org/wiki/Roulette (truy cập ngày 2 tháng 5 năm 2013)
5. Shin, Hyon B. , Robert A. Kominski. “Sử dụng ngôn ngữ ở Hoa Kỳ. 2007. ” Cục điều tra dân số Hoa Kỳ. Có sẵn trực tuyến tại www. điều tra dân số. gov/hhes/socdemo/l. acs/ACS-12. pdf (truy cập ngày 2 tháng 5 năm 2013)
6. Dữ liệu từ Niên giám bóng chày, 2013. Có sẵn trực tuyến tại www. niên giám bóng chày. com (truy cập ngày 2 tháng 5 năm 2013)
7. Dữ liệu từ U. S. Cục điều tra dân số
8. Dữ liệu từ Tạp chí Phố Wall
9. Dữ liệu từ Trung tâm Roper. Kho lưu trữ ý kiến ​​công chúng tại Đại học Connecticut. Có sẵn trực tuyến tại www. ropercenter. uconn. edu/ (truy cập ngày 2 tháng 5 năm 2013)
10. Dữ liệu từ Field Research Corporation. Có sẵn trực tuyến tại www. đồng ruộng. com/fieldpollonline (truy cập ngày 22 tháng 5 năm 013)

Xem xét lại

Quy tắc nhân và quy tắc cộng được sử dụng để tính xác suất của \(\text{A}\) và \(\text{B}\), cũng như xác suất của \(\text{A}\) hoặc . Trong lấy mẫu có thay thế, mỗi thành viên của tổng thể được thay thế sau khi được chọn, do đó thành viên đó có khả năng được chọn nhiều lần và các sự kiện được coi là độc lập. Trong lấy mẫu không thay thế, mỗi thành viên của dân số chỉ có thể được chọn một lần và các sự kiện được coi là không độc lập. Các biến cố \(\text{A}\) và \(\text{B}\) là các biến cố loại trừ lẫn nhau khi chúng không có kết quả chung

Đánh giá công thức

quy tắc nhân. \(P(\text{A AND B}) = P(\text{A. B})P(\text{B})\)

Quy tắc cộng. \(P(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) - P(\text{A AND B})\)

Sử dụng thông tin sau để trả lời mười bài tập tiếp theo. Bốn mươi tám phần trăm cử tri đã đăng ký ở California thích cuộc sống trong tù không ân xá hơn án tử hình đối với một người bị kết tội giết người cấp độ một. Trong số các cử tri đã đăng ký ở California gốc Latinh, 55% thích cuộc sống trong tù không ân xá hơn là án tử hình đối với một người bị kết tội giết người cấp độ một. 37. 6% người dân California là người Latinh

Trong bài toán này, hãy

• \(\text{C} =\) Người dân California (cử tri đã đăng ký) thích cuộc sống trong tù không ân xá hơn án tử hình đối với một người bị kết tội giết người cấp độ một
• \(\text{L} =\) Người California gốc Latinh

Giả sử rằng một người California được chọn ngẫu nhiên

Bài tập \(\PageIndex{5}\)

Tìm \(P(\text{C})\)

Bài tập \(\PageIndex{6}\)

Tìm \(P(\text{L})\)

Câu trả lời

0. 376

Bài tập \(\PageIndex{7}\)

Tìm \(P(\text{C. L})\)

Bài tập \(\PageIndex{8}\)

Nói cách khác, \(\text{C. L}\)?

Câu trả lời

\(\text{C. L}\) có nghĩa là, với điều kiện người được chọn là người California gốc Latinh, người đó là cử tri đã đăng ký, thích cuộc sống trong tù không ân xá đối với người bị kết tội giết người cấp độ một

Bài tập \(\PageIndex{9}\)

Tìm \(P(\text{L AND C})\)

Bài tập \(\PageIndex{10}\)

Nói cách khác, \(\text{L AND C}\) là gì?

Câu trả lời

\(\text{L AND C}\) là sự kiện mà người được chọn là một cử tri đã đăng ký ở California gốc Latinh thích chung thân không ân xá hơn là án tử hình đối với một người bị kết tội giết người cấp độ một

Bài tập \(\PageIndex{11}\)

Các sự kiện \(\text{L}\) và \(\text{C}\) có độc lập không?

Bài tập \(\PageIndex{12}\)

Tìm \(P(\text{L OR C})\)

Câu trả lời

0. 6492

Bài tập \(\PageIndex{13}\)

Nói cách khác, \(\text{L OR C}\) là gì?

Bài tập \(\PageIndex{14}\)

Các sự kiện \(\text{L}\) và \(\text{C}\) có loại trừ lẫn nhau không?

Câu trả lời

Không, vì \(P(\text{L AND C})\) không bằng 0

Bảng chú giải

1. \(P(\text{A. B}) = P(\text{A})\)
2. \(P(\text{B. A}) = P(\text{B})\)
3. \(P(\text{A AND B}) = P(\text{A})P(\text{B})\)

Trang này có tiêu đề 4. 3. Quy tắc cộng và nhân của xác suất được chia sẻ theo CC BY 4. 0 và do OpenStax biên soạn, phối lại và/hoặc quản lý thông qua nội dung nguồn đã được chỉnh sửa theo phong cách và tiêu chuẩn của nền tảng LibreTexts;

Quy tắc cộng và nhân xác suất là gì?

Quy tắc cộng cho bảng tính xác suất là gì?

quy tắc nhân cho xác suất là gì?