- LG a
- LG b
- LG c
Cho đường thẳng
\[d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 8 + 4t \hfill \cr
z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\]
và mặt phẳng \[\left[ P \right]:x + y + z - 7 = 0\].
LG a
Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d.
Lời giải chi tiết:
Một vectơ chỉ phương của d là \[\overrightarrow u = \left[ {1;4;2} \right]\]. Cho t = 0 ta có một điểm \[{M_0}\left[ {0;8;3} \right]\] nằm trên d.
LG b
Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp[P].
Lời giải chi tiết:
Vectơ pháp tuyến của mp[P] là \[{\overrightarrow n _P} = \left[ {1;1;1} \right]\].
Gọi \[\left[ \alpha \right]\]là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với cả \[\overrightarrow u \] và \[{\overrightarrow n _P}\]nên ta lấy \[{\overrightarrow n _{\left[ \alpha \right]}} = \left[ {\overrightarrow u ;{{\overrightarrow n }_P}} \right] = \left[ {2;1; - 3} \right]\].
\[Mp\left[ \alpha \right]\] đi qua \[{M_0}\left[ {0;8;3} \right]\] và có vectơ pháp tuyến \[{\overrightarrow n _\alpha } = \left[ {2;1; - 3} \right]\] nên có phương trình là: \[2\left[ {x - 0} \right] + 1\left[ {y - 8} \right] - 3\left[ {z - 3} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow 2x + y - 3z + 1 = 0\]
LG c
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp[P].
Lời giải chi tiết:
Vì d không vuông góc với [P] nên hình chiếu của d trên [P] là đường thẳng d, d là giao tuyến của \[\left[ \alpha \right]\] và [P]:
\[\left\{ \matrix{
x + y + z - 7 = 0 \hfill \cr
2x + y - 3z + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\]
Cho z = 0 ta có x = 8; y = 15, d qua A[ 8; 15; 0].
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {{n_{\left[ P \right]}}} = \left[ {1;1;1} \right]\\
\overrightarrow {{n_{\left[ \alpha \right]}}} = \left[ {2;1; - 3} \right]\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_{\left[ P \right]}}} ,\overrightarrow {{n_{\left[ \alpha \right]}}} } \right] = \left[ { - 4;5; - 1} \right]
\end{array}\]
d đi qua A[ 8; 15; 0] và nhận \[\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left[ P \right]}}} ,\overrightarrow {{n_{\left[ \alpha \right]}}} } \right] = \left[ { - 4;5; - 1} \right]\] làm VTCP nên có phương trình tham số là:
\[\left\{ \matrix{
x = - 8 - 4t \hfill \cr
y = 15 + 5t \hfill \cr
z = - t \hfill \cr} \right.\]