- LG a
- LG b
Giải và biện luận các bất phương trình sau:
LG a
a2x + 1 > [3a - 2]x + 3
Phương pháp giải:
Biến đổi bpt về dạng Ax > B và biện luận dựa theo các điều kiện của hệ số A.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}{a^2}x + 1 > \left[ {3a - 2} \right]x + 3\\ \Leftrightarrow {a^2}x - \left[ {3a - 2} \right]x > 3 - 1\\ \Leftrightarrow \left[ {{a^2} - 3x + 2} \right]x > 2\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
+] TH1: \[{a^2} - 3a + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\]
Khi đó [*] là \[0x > 2\] [vô lí]
Do đó bpt vô nghiệm.
+] TH2: \[{a^2} - 3a + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 2\\a < 1\end{array} \right.\] thì
\[\left[ * \right] \Leftrightarrow x > \frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}\] nên BPT có tập nghiệm \[S = \left[ {\frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}; + \infty } \right]\]
+] TH3: \[{a^2} - 3a + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < a < 2\] thì
\[\left[ * \right] \Leftrightarrow x < \frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}\] nên BPT có tập nghiệm \[S = \left[ { - \infty ;\frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}} \right]\]
Vậy,
+ Nếu \[a = 1\] hoặc \[a = 2\] thì BPT vô nghiệm.
+ Nếu \[a > 2\] hoặc \[a < 1\] thì BPT có tập nghiệm \[S = \left[ {\frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}; + \infty } \right]\]
+ Nếu \[1 < a < 2\] thì BPT có tập nghiệm \[S = \left[ { - \infty ;\frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}} \right]\].
LG b
2x2+ [m - 9]x + m2+ 3m + 4 0
Phương pháp giải:
Tính \[\Delta \] và biện luận tập nghiệm của bpt theo \[\Delta\] dựa vào định lý dấu của tam thức bậc hai.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Δ = [m 9]2 8[m2+ 3m + 4]
= -7[m2+ 6m 7]
+] TH1: \[\Delta \le 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 7\left[ {{m^2} + 6m - 7} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le - 7\end{array} \right.\end{array}\]
Khi đó 2x2+ [m - 9]x + m2+ 3m + 4 0 với mọi \[x \in \mathbb{R}\] nên bpt có tập nghiệm \[S = \mathbb{R}\]
+] TH2: \[\Delta > 0 \Leftrightarrow - 7 < m < 1\]
Khi đó tam thức vế trái của bpt có hai nghiệm phân biệt:
\[\eqalign{
& {x_1} = {{9 - m - \sqrt { - 7[{m^2} + 6m - 7]} } \over 4} \cr
& {x_2} = {{9 - m + \sqrt { - 7[{m^2} + 6m - 7]} } \over 4} \cr} \]
Nghiệm của bất phương trình đã cho là: x x1hoặc x x2.
Vậy:
+ Nếu m -7 hoặc m 1 thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là R
+ Nếu -7 < m < 1 thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
\[[ - \infty ;{{9 - m - \sqrt { - 7[{m^2} + 6m - 7]} } \over 4}] \cup \]
\[[{{9 - m + \sqrt { - 7[{m^2} + 6m - 7]} } \over 4},+\infty ]\]