- LG 1
- LG 2
Cho hình chópS.ABC.Biết rằng các điểmA, B, Cvà các trung điểmA', B', C' của các cạnhSA, SB, SCcùng thuộc một mặt cầu bán kínhR.
LG 1
Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCthuộc đường caoSHcủa hình chóp.
Lời giải chi tiết:
VìA, B, A',B' cùng thuộc một mặt cầu vàA'B'//ABnênABBA' là hình thang cân, từ đóSA = SB.Lập luận tương tự ta cóSB = SC.
VậySA = SB = SC.
Suy ra đường caoSHcủa hình chópS.ABCchính là trục của tam giácABC.Do đó, tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCthuộcSH.
LG 2
Cho góc giữa đường thẳngSCvà mặt phẳng [ABC] bằng 60°, chứng minh rằngHlà tâm của mặt cầu đi qua sáu điểmA, B,C, A' ,B' ,C'.
Khi đó, hãy tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABC.
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minhHchính là tâm của mặt cầu đi qua các điểmA,B,C,A',B',C', Thật vậy, doSH\[ \bot \] mp[ABC] nêntừ đó\[HC{\rm{ }} = {1 \over 2}SC,\]mặt khácC'S=C'Cnên\[HC' = {1 \over 2}SC\].
Từ chứng minh trên ta cóHA=HB = HC = HC' =HA' =HB',tứcHlà tâm của mặt cầu đi quaA, B, C, A', B', C'.
Gọi G là trung điểm củaC'CthìHG\[ \bot \]SC.KẻC'H' song song vớiGH\[\left[ {H' \in SH} \right]\]thìH'S = H'C, từ đóH' là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCvàH'Slà bán kính mặt cầu ngoại tiếpS.ABC.
Ta có \[H'{S^2} = H'C{'^2} + SC'{^2}\] ,mặt khác
\[H'C' = {2 \over 3}HG,HG = {{R\sqrt 3 } \over 2},SC' = {{SC} \over 2} = R.\]
Từ đó \[H'{S^2} = {\left[ {{2 \over 3}.{{R\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} + {R^2} = {{{R^2}} \over 3} + {R^2} = {{4{R^2}} \over 3}.\]
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABClà \[{{16\pi {R^2}} \over 3}.\]