Đề bài
Tính \[{\left[ {\sqrt 3 - i} \right]^6};{\left[ {{i \over {1 + i}}} \right]^{2004}};{\left[ {{{5 + 3i\sqrt 3 } \over {1 - 2i\sqrt 3 }}} \right]^{21}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biến đổi các số phức về dạng lượng giác rồi tính toán.
Sử dụng công thức Moa-vrơ:
\[\begin{array}{l}
z = r\left[ {\cos \varphi + \sin \varphi } \right]\\
\Rightarrow {z^n} = {r^n}\left[ {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right]
\end{array}\]
Lời giải chi tiết
\[\begin{array}{l}
\sqrt 3 - i = 2\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right]\\
= 2\left[ {\cos \left[ { - \frac{\pi }{6}} \right] + i\sin \left[ { - \frac{\pi }{6}} \right]} \right]
\end{array}\]
\[\Rightarrow {\left[ {\sqrt 3 - i} \right]^6} \] \[= {\left[ {2\left[ {\cos \left[ { - {\pi \over 6}} \right] + i\sin \left[ { - {\pi \over 6}} \right]} \right]} \right]^6} \] \[ = {2^6}\left[ {\cos \left[ { - \pi } \right] + i\sin \left[ { - \pi } \right]} \right] = - {2^6}\]
\[{i \over {i + 1}}= \frac{{i\left[ {1 - i} \right]}}{{1 + 1}}= {{1 + i} \over 2}\] \[= \frac{1}{2}\left[ {1 + i} \right] = \frac{1}{2}.\sqrt 2 \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right]\] \[ = {1 \over {\sqrt 2 }}\left[ {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right]\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow{\left[ {{i \over {1 + i}}} \right]^{2004}} \cr &= {1 \over {{{[\sqrt 2]}^{2004}}}}\left[ {\cos {{2004\pi } \over 4} + i\sin {{2004\pi } \over 4}} \right] \cr & = {1 \over {{2^{1002}}}}\left[ {\cos \pi + i\sin \pi } \right] = - {1 \over {{2^{1002}}}} \cr} \]
\[{{5 + 3i\sqrt 3 } \over {1 - 2i\sqrt 3 }} = {{\left[ {5 + 3i\sqrt 3 } \right]\left[ {1 + 2i\sqrt 3 } \right]} \over {1 + 12}}\] \[ = {{ - 13 + 13i\sqrt 3 } \over {13}} = - 1 + i\sqrt 3 \]
\[ = 2\left[ { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right] \] \[= 2\left[ {\cos {{2\pi } \over 3} + i\sin {{2\pi } \over 3}} \right]\]
Do đó:
\[{\left[ {{{5 + 3i\sqrt 3 } \over {1 - 2i\sqrt 3 }}} \right]^{21}} = {2^{21}}\left[ {\cos 14\pi + i\sin 14\pi } \right] \] \[= {2^{21}}\]