- LG a
- LG b
Giải hệ phương trình:
LG a
\[\left\{ \matrix{
{3^{ - x}}{.2^y} = 1152 \hfill \cr
{\log _{\sqrt 5 }}\left[ {x + y} \right] = 2; \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \[x + y > 0\].
Từ phương trình thứ hai suy ra: \[x + y = {\left[ {\sqrt 5 } \right]^2} = 5 \Rightarrow y = 5 - x\]thay vào phương trình thứ nhất ta được:
\[{3^{ - x}}{.2^{ {5 - x}}} = 1152 \]
\[\Leftrightarrow {3^{ - x}}{.2^{ - x}}{.2^5} = 1152\]
\[\Leftrightarrow {6^{ - x}}.32 = 1152 \]
\[\Leftrightarrow {6^{ - x}} = 36 \Leftrightarrow x = - 2\]
Với \[x = -2\] ta có \[y = 5 [-2] =7\].
Vậy \[S = \left\{ {\left[ { - 2;7} \right]} \right\}\]
LG b
\[\left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = 2 \hfill \cr
{\log _2}\left[ {x + y} \right] - {\log _3}\left[ {x - y} \right] = 1 \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện
\[\left\{ \matrix{
x + y > 0 \hfill \cr
x - y > 0 \hfill \cr} \right.\]
Khi đó,
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = 2\\
{\log _2}\left[ {x + y} \right] - {\log _3}\left[ {x - y} \right] = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}\left[ {{x^2} - {y^2}} \right] = {\log _2}2\\
{\log _2}\left[ {x + y} \right] - \frac{{{{\log }_2}\left[ {x - y} \right]}}{{{{\log }_2}3}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}\left[ {\left[ {x + y} \right]\left[ {x - y} \right]} \right] = 1\\
{\log _2}\left[ {x + y} \right] - \frac{1}{{{{\log }_2}3}}{\log _2}\left[ {x - y} \right] = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}\left[ {x + y} \right] + {\log _2}\left[ {x - y} \right] = 1\\
{\log _2}\left[ {x + y} \right] - {\log _3}2{\log _2}\left[ {x - y} \right] = 1
\end{array} \right.
\end{array}\]
Đặt u = \[{\log _2}\left[ {x + y} \right]\]và v = \[{\log _2}\left[ {x - y} \right]\] ta được hệ
\[\left\{ \matrix{
u + v = 1 \hfill \cr
u - v.{\log _3}2 = 1 \hfill \cr} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
u = 1 \hfill \cr
v = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Rightarrow \left\{ \matrix{
{\log _2}\left[ {x + y} \right] = 1 \hfill \cr
{\log _2}\left[ {x - y} \right] = 0 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + y = 2 \hfill \cr
x - y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} \hfill \cr
y = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = \left\{ {\left[ {{3 \over 2};{1 \over 2}} \right]} \right\}\]