Đề bài
Với \[a\] dương, chứng minh:
\[a + \dfrac{1}{a} \ge 2\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách 1: Sử dụng hằng đẳng thức:
\[{[a - b]^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\]
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm \[a, b:\]
\[\dfrac{{a + b}}{2} \ge 2\sqrt {ab} .\]
Lời giải chi tiết
Cách 1: Với \[a\] dương, ta có:
\[\eqalign{
& {\left[ {\sqrt a - {1 \over {\sqrt a }}} \right]^2} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow a - 2\sqrt a .{1 \over {\sqrt a }} + {1 \over a} \ge 0 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow a - 2 +\dfrac{1}{a}\ge 0 \Leftrightarrow a +\dfrac{1}{a} \ge 2\]
Cách 2:
Ta có:\[a > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{a} > 0\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương \[a\] và\[\dfrac{1}{a}\]:
\[\begin{array}{l}
a + \dfrac{1}{a} \ge 2\sqrt {a.\dfrac{1}{a}} \\
\Leftrightarrow a + \dfrac{1}{a} \ge 2
\end{array}\]
Dấu "=" xảy ra khi\[a = \dfrac{1}{a}\].