Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A. Trung tuyến BM và CN cắt nhau tại H.
a] Chứng minh BM = CN
b] Chứng minh tam giác BHC cân.
c] Cho biết AH = 8 cm, BC = 18 cm. Tính AB.
Lời giải chi tiết
a] Ta có: \[AN{\rm{ }} = {\rm{ }}BN{\rm{ }} = {{AB} \over 2}\] [N là trung điểm của AB]
\[AM = MC = {{AB} \over 2}\] [M là trung điểm của AC]
AB = AC [ABC cân tại A]
Do đó AN = AM = BN = MC.
Xét BMA và CNA ta có: AB = AC [ABC cân tại A]
\[\widehat {BAM}\] chung
AM = AN
Do đó: BMA = CAN [c.g.c] => BM = CN.
b] Xét BMC và CNB ta có: BC [cạnh chung]
MC = BN
BM = CN [câu a]
Do đó: BMC = CNB [c.c.c] \[ \Rightarrow \widehat {HBC} = \widehat {HCB}\]. Vậy BHC cân tại H.
c] Gọi I là giao điểm của AH và BC
ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại H [gt]
=> H là trọng tâm của ABC
=> AI là đường trung tuyến của ABC [vì AI đi qua H]
Ta có \[AH = {2 \over 3}AI \Rightarrow AI = {3 \over 2}AH = {3 \over 2}.8 = 12[cm]\]
Vì I là trung điểm của BC \[ \Rightarrow BI = {{BC} \over 2} = {{18} \over 2} = 9[cm]\]
ABC cân tại A có AI là đường trung tuyến
Nên AI là đường cao \[ \Rightarrow AI \bot BC\] tại I
Xét ABI vuông tại I => AB2 = AI2 + BI2 [định lí Pythagore]
Nên AB2 = 122 + 92 = 225.
Do đó AB2 = 152. Vậy AB = 15 [cm].