Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng [P] lần lượt cắt các cạnh SA, SB, SC tại A, B, C. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AC và SO.
a] Tìm giao điểm D của mp[P] với cạnh SD.
b] Chứng minh rằng \[{{SA} \over {SA'}} + {{SC} \over {SC'}} = {{2SO} \over {SI}}\]
c] Chứng minh rằng \[{{SA} \over {SA'}} + {{SC} \over {SC'}} = {{SB} \over {SB'}} + {{SD} \over {SD'}}.\]
Lời giải chi tiết
a]Trong mp[SAC] nối A với C cắt SO tại I. Trong mp[SBD] nối B với I cắt SD tại D. Khi đó D chính là giao điểm của mp[P] với SD.
b] [h.126]
Trong mp[SAC], kẻ AE // A'C' cắt SO tại E; kẻ CF // A'C' cắt SO tại F. Ta có:
\[{{SA} \over {SA'}} = {{SE} \over {SI}} = {{SO - OE} \over {SI}}\,\,\,\,[1]\]
\[{{SC} \over {SC'}} = {{SF} \over {SI}} = {{SO + \,OF} \over {SI}}\,\,\,\,[2]\]
Do O là trung điểm của AC và AE // CF, nên OE = OF.
Vậy từ [1] và [2], suy ra \[{{SA} \over {SA'}} + {{SC} \over {SC'}} = {{2SO} \over {SI}}\] [3]
c] Chứng minh tương tự câu b], ta có:
\[{{SB} \over {SB'}} + {{SD} \over {SD'}} = {{2SO} \over {SI}}\] [4]
Từ [3] và [4], suy ra:
\[{{SA} \over {SA'}} + {{SC} \over {SC'}} = {{SB} \over {SB'}} + {{SD} \over {SD'}}.\]