Đề bài
Câu I [2,0 điểm] Giải các phương trình sau :
1] \[\cos 2x = 3\sin x + 1.\]
2] \[\cos 3x + \cos x - \cos 2x = 0\]
Câu II [2,0 điểm]
1] Tìm số hạng không chứa \[x\] trong khai triển của \[{\left[ {2{x^3} - \dfrac{1}{x}} \right]^{12}},x \ne 0.\]
2] Chứng minh rằng \[{7^{17}}C_{17}^0 + {3.7^{16}}C_{17}^1 + {3^2}{.7^{15}}C_{17}^2 + ... \] \[+ {3^{16}}.7C_{17}^{16} + {3^{17}}C_{17}^{17} = {10^{17}}.\]
Câu III [2,5 điểm]
1] Một hộp chứa \[3\] quả cầu đen và \[2\] quả cầu trắng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời \[2\] quả. Tính xác suất để lấy được hai quả cầu khác màu.
2] Hai người tham gia một trò chơi ném bóng vào rổ, mỗi người ném vào rổ của mình \[1\] quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng rổ của người thứ nhất, người thứ hai lần lượt là \[\dfrac{1}{5}\] và \[\dfrac{2}{7}\] và hai người ném một cách độc lập với nhau.
a] Tính xác suất để hai người cùng ném bóng trúng rổ.
b] Tính xác suất để có ít nhất một người ném không trúng rổ.
Câu IV [3,5 điểm]
Cho hình chóp \[S.ABCD,\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O.\] Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[SC\] và \[SD.\]
1] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left[ {SAB} \right]\] và \[\left[ {SCD} \right].\] Chứng minh rằng đường thẳng \[MN\] song song với mặt phẳng \[\left[ {SAB} \right].\]
2] Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \[\left[ {OMN} \right].\] Thiết diện là hình gì, tại sao ?
3] Gọi \[I\] là trung điểm của cạnh \[CD,\,\,G\] là trọng tâm của tam giác \[SAB.\] Tìm giao điểm \[K\] của \[IG\] và \[\left[ {OMN} \right].\] Tính tỉ số \[\dfrac{{IK}}{{IG}}.\]
----------HẾT----------
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
Câu I [VD]:
Phương pháp:
1] Sử dụng công thức nhân đôi đưa phương trình về phương trình bậc hai với ẩn \[\cos x\].
2] Sử dụng công thức cộng \[\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\] và biến đổi phương trình về dạng tích.
Cách giải:
1. \[\cos 2x = 3\sin x + 1\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x = 3\sin x + 1\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 3\sin x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\left[ {2\sin x + 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\2\sin x + 3 = 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x = - \dfrac{3}{2}\left[ {Loai} \right]\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = k\pi \left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\end{array}\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
2. \[\cos 3x + \cos x - \cos 2x = 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\cos 2x\cos x - \cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left[ {2\cos x - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\2\cos x - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\end{array}\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \].
Câu II [VD]:
Phương pháp:
1] Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \[{T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\].
2] Sử dụng khai triển \[{\left[ {a + b} \right]^n}\] và chọn \[a,b,n\] là các số thích hợp, từ đó quy ra tổng.
Cách giải:
1] Tìm số hạng không chứa \[x\] trong khai triển của \[{\left[ {2{x^3} - \dfrac{1}{x}} \right]^{12}},x \ne 0.\]
Ta có: \[{T_{k + 1}} = C_{12}^k{\left[ {2{x^3}} \right]^{12 - k}}.{\left[ { - \dfrac{1}{x}} \right]^k}\] \[ = C_{12}^k{.2^{12 - k}}.{x^{3\left[ {12 - k} \right]}}.\dfrac{{{{\left[ { - 1} \right]}^k}}}{{{x^k}}}\] \[ = C_{12}^k.{\left[ { - 1} \right]^k}{.2^{12 - k}}.{x^{36 - 3k - k}}\] \[ = C_{12}^k.{\left[ { - 1} \right]^k}{.2^{12 - k}}.{x^{36 - 4k}}\]
Số hạng không chứa \[x\] nếu \[36 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 9\].
Vậy số hạng không chứa \[x\] là \[C_{12}^9.{\left[ { - 1} \right]^9}{.2^{12 - 9}} = - 1760\].
b] Chứng minh rằng \[{7^{17}}C_{17}^0 + {3.7^{16}}C_{17}^1 + {3^2}{.7^{15}}C_{17}^2 + ...\] \[ + {3^{16}}.7C_{17}^{16} + {3^{17}}C_{17}^{17} = {10^{17}}.\]
Số hạng tổng quát \[C_{17}^k{.7^{17 - k}}{.3^k}\], chọn \[n = 17,a = 7,b = 3\]
Xét tổng:
\[{\left[ {7 + 3} \right]^{17}} = C_{17}^0{.7^{17 - 0}}{.3^0} + C_{17}^1{.7^{17 - 1}}{.3^1} + ...\] \[ + C_{17}^{16}{.7^{17 - 16}}{.3^{16}} + C_{17}^{17}{.7^0}{.3^{17}}\]
Do đó \[{10^{17}} = {7^{17}}C_{17}^0 + {3.7^{16}}C_{17}^1 + ...\] \[ + {3^{16}}.7C_{17}^{16} + {3^{17}}C_{17}^{17}\] [đpcm]
Câu III [VD]:
Phương pháp:
1] Tính số phần tử không gian mẫu.
Tính số khả năng có lợi cho biến cố.
Sử dụng công thức tính xác suất \[P\left[ A \right] = \dfrac{{n\left[ A \right]}}{{n\left[ \Omega \right]}}\].
2] Sử dụng các quy tắc nhân xác suất, xác suất biến cố đối.
Cách giải:
1] Một hộp chứa \[3\] quả cầu đen và \[2\] quả cầu trắng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời \[2\] quả. Tính xác suất để lấy được hai quả cầu khác màu.
Phép thử: Lấy ngẫu nhiên \[2\] quả cầu
\[ \Rightarrow n\left[ \Omega \right] = C_5^2 = 10\].
Biến cố A: Chọn được hai quả cầu khác màu
\[ \Rightarrow n\left[ A \right] = C_3^1.C_2^1 = 3.2 = 6\].
Xác suất \[P\left[ A \right] = \dfrac{{n\left[ A \right]}}{{n\left[ \Omega \right]}} = \dfrac{6}{{10}} = \dfrac{3}{5}\].
2] Hai người tham gia một trò chơi ném bóng vào rổ, mỗi người ném vào rổ của mình \[1\] quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng rổ của người thứ nhất, người thứ hai lần lượt là \[\dfrac{1}{5}\] và \[\dfrac{2}{7}\] và hai người ném một cách độc lập với nhau.
Gọi \[{B_1}:\] Người 1 trúng rổ, \[P\left[ {{B_1}} \right] = \dfrac{1}{5}\].
\[{B_2}:\] Người 2 trúng rổ, \[P\left[ {{B_2}} \right] = \dfrac{2}{7}\].
a] Tính xác suất để hai người cùng ném bóng trúng rổ.
Gọi biến cố B: Hai người trúng rổ.
Theo quy tắc nhân xác suất ta có:
\[P\left[ B \right] = P\left[ {{B_1}} \right].P\left[ {{B_2}} \right] = \dfrac{1}{5}.\dfrac{2}{7} = \dfrac{2}{{35}}\].
b] Tính xác suất để có ít nhất một người ném không trúng rổ.
Gọi biến cố C: Ít nhất một người không trúng rổ.
Biến cố đổi \[\overline C \]: Cả hai người đều trúng rổ.
Dễ thấy đây cũng là biến cố B nên \[P\left[ {\overline C } \right] = P\left[ B \right] = \dfrac{2}{{35}}\].
Vậy \[P\left[ C \right] = 1 - P\left[ {\overline C } \right] = 1 - \dfrac{2}{{35}} = \dfrac{{33}}{{35}}\].
Câu IV [VD]:
Phương pháp:
a] - Sử dụng định lý: \[\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left[ P \right]\\b \subset \left[ Q \right]\\a//b\\\left[ P \right] \cap \left[ Q \right] = d\end{array} \right. \Rightarrow d//a//b\].
- Sử dụng định lý: \[\left\{ \begin{array}{l}a \not\subset \left[ P \right]\\a//b\\b \subset \left[ P \right]\end{array} \right. \Rightarrow a//\left[ P \right]\].
b] Sử dụng định lý giao tuyến ba mặt phẳng: Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến, nếu chúng không đồng quy thì song song.
c] Phương pháp xác định giao điểm của đường thẳng \[a\] với mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]:
- Tìm mặt phẳng phụ \[\left[ P \right]\] chứa \[a\].
- Tìm giao tuyến \[d = \left[ P \right] \cap \left[ \alpha \right]\].
- Tìm giao điểm của \[d\] với \[a\].
Sử dụng định lý Ta let để tính tỉ số \[\dfrac{{IK}}{{IG}}\].
Cách giải:
1] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left[ {SAB} \right]\] và \[\left[ {SCD} \right].\] Chứng minh rằng đường thẳng \[MN\] song song với mặt phẳng \[\left[ {SAB} \right].\]
+] Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left[ {SAB} \right]\\CD \subset \left[ {SCD} \right]\\AB//CD\\\left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SCD} \right] = Sx\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow Sx//AB//CD\]
Do đó giao tuyến của \[\left[ {SAB} \right]\] và \[\left[ {SCD} \right]\] là đường thẳng \[Sx\] đi qua \[S\] và song song với \[AB,CD\].
+] Dễ thấy \[MN \not\subset \left[ {SAB} \right]\].
Trong tam giác \[SCD\] có \[M,N\] là trung điểm \[SC,SD\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[SCD\].
Khi đó \[MN//CD\], mà \[CD//AB\] nên \[MN//AB\].
Mà \[AB \subset \left[ {SAB} \right]\] nên \[MN//\left[ {SAB} \right]\] [đpcm].
Xét ba mặt phẳng \[\left[ {OMN} \right],\left[ {SCD} \right],\left[ {ABCD} \right]\] có:2] Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \[\left[ {OMN} \right].\] Thiết diện là hình gì, tại sao ?
\[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {OMN} \right] \cap \left[ {SCD} \right] = MN\\\left[ {SCD} \right] \cap \left[ {ABCD} \right] = CD\\\left[ {OMN} \right] \cap \left[ {ABCD} \right] = Ot\\MN//CD\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow MN//CD//Ot\].
Do đó \[\left[ {OMN} \right] \cap \left[ {ABCD} \right] = Ot\] là đường thẳng đi qua \[O\] và song song với \[CD\].
Kẻ đường thẳng qua \[O\] và song song \[CD\] cắt \[AD,BC\] lần lượt tại \[E,F\].
Khi đó
\[\begin{array}{l}\left[ {OMN} \right] \cap \left[ {SCD} \right] = MN\\\left[ {OMN} \right] \cap \left[ {SAD} \right] = NE\\\left[ {OMN} \right] \cap \left[ {ABCD} \right] = EF\\\left[ {OMN} \right] \cap \left[ {SBC} \right] = MF\end{array}\]
Vậy thiết diện là tứ giác \[MNEF\].
Ngoài ra \[MN//CD,EF//CD\] \[ \Rightarrow MN//EF\].
Vậy thiết diện là hình thang.
3] Gọi \[I\] là trung điểm của cạnh \[CD,\,\,G\] là trọng tâm của tam giác \[SAB.\] Tìm giao điểm \[K\] của \[IG\] và \[\left[ {OMN} \right].\] Tính tỉ số \[\dfrac{{IK}}{{IG}}.\]
*] Tìm giao điểm của \[IG\] với \[\left[ {OMN} \right]\].
+] Gọi \[P\] là trung điểm của \[AB\]. Dễ thấy \[IG \subset \left[ {SIP} \right]\].
+] Ta tìm giao tuyến của \[\left[ {SIP} \right]\] với \[\left[ {OMN} \right]\].
Vì \[I,P\] là trung điểm của \[CD,AB\] nên \[O \in IP \subset \left[ {SIP} \right]\].
Mà \[O \in \left[ {OMN} \right] \Rightarrow O \in \left[ {SIP} \right] \cap \left[ {OMN} \right]\] [1]
Trong \[\left[ {SCD} \right]\], gọi \[H = SI \cap MN\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}H \in SI \subset \left[ {SIP} \right]\\H \in MN \subset \left[ {OMN} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow H \in \left[ {SIP} \right] \cap \left[ {OMN} \right]\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[OH = \left[ {SIP} \right] \cap \left[ {OMN} \right]\].
+] Trong \[\left[ {SIP} \right]\], gọi \[K = OH \cap IG\].
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}K \in OH \subset \left[ {OMN} \right]\\K \in IG\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow K = IG \cap \left[ {OMN} \right]\].
*] Tính \[\dfrac{{IK}}{{IG}}\].
Trong \[\Delta SCI\] có \[M\] là trung điểm \[SC\] và \[MH//CI\] nên \[H\] là trung điểm của \[SI\].
Trong \[\Delta SIP\] có \[\dfrac{{SH}}{{SI}} = \dfrac{1}{2}\] và \[\dfrac{{PO}}{{PI}} = \dfrac{1}{2}\] nên \[\dfrac{{SH}}{{SI}} = \dfrac{{PO}}{{PI}} = \dfrac{1}{2}\].
Theo định lý Ta let ta có \[OH//SP\] hay \[OK//PG\].
Trong \[\Delta IPG\] có \[O\] là trung điểm \[IP\] và \[OK//PG\] nên \[K\] là trung điểm \[IO\].
Vậy \[\dfrac{{IK}}{{IG}} = \dfrac{1}{2}\].
HẾT