Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin2x m = 0 có nghiệm

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số (m ) thuộc đoạn ([ ( - 10;10) ] ) để phương trình (11(sin ^2)x + ( (m - 2) )sin 2x + 3(cos ^2)x = 2 ) có nghiệm?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể phương trình cos 2 x - 2 m + 1 cos x + m + 1 = 0 có nghiệm trên khoảng π 2 ; 3 π 2

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

+ Phương trình a. sinx+ b=0 hoặc a.cosx+ b=0 ( với a ≠ 0) có nghiệm nếu:

- 1 ≤ sinx( hoặc cosx) ≤ 1.

+Xét phương trình a.sin2 x + bsinx+ c= 0 hoặc a.cos2 x+ b. cosx+ c= 0 ( với a ≠ 0) :

Đặt sinx= t ( hoặc cosx = t) phương trình đã cho trở thành:

at2 + bt + c= 0 (*)

để phương trình đã cho có nghiệm nếu phương trình (*) có nghiệm t0 và -1 ≤ t0 ≤ 1

Ví dụ 1. Cho phương trình 2sinx+ cos900 = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. - 2 ≤ m ≤ 2

B. - 1 ≤ m ≤ 1

C. - 4 ≤ m ≤ 4

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: 2sinx+ cos900= m

⇒ 2sinx + 0= m

⇒ sinx= m/2 (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1

⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ m/2 ≤ 1 ⇒ - 2 ≤ m ≤ 2

Chọn A.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:

A. 2

B.4

C. 3

D.1

Lơì giải

Ta có:

⇒ sinx - 2sinx = m

⇒ - sinx = m ⇒ sinx= - m

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1

⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ -m ≤ 1 ⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

⇒ m∈{ -1;0;1}

Chọn C.

Ví dụ 3. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin2x -2(m-1)sinxcosx-(m-1)cos2x=m có nghiệm?

A.0≤m≤1

B.m > 1

C.0 < m < 1

D.m≤0

Lời giải

Ta có: sin2 x- 2(m -1) sinx. cosx – ( m – 1) cos2 x= m

Ta có:

⇒ 1- cos2x -2 (m- 1) .sin2x- ( m- 1) . ( 1 + cos2x) = 2m

⇒ 1- cos2x -2(m-1)sin2x – m+ 1 – (m-1).cos2x – 2m= 0

⇒ -2(m -1) sin2x – mcos2x= 3m - 2

Phương trình có nghiệm

Ta có:

Chọn A.

Ví dụ 4. Để phương trình: sin2 x+2(m+1).sinx – 3m(m-2)= 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Đặt t = sinx.

Điều kiện .

Phương trình trở thành: t2 + 2(m+1).t – 3m(m- 2)= 0 (1).

Đặt f(t) = t2 + 2(m+1)t – 3m(m- 2).

Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn [-1;1] khi phương trình (1) có một nghiệm thuộc [-1;1] hoặc có hai nghiệm thuộc [-1;1]

Chọn B.

Ví dụ 5: Để phương trình

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Phương trình (1) trở thành 3t2+ 4at – 4= 0 (2).

Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm trong đoạn .

Xét phương trình (2), ta có:

nên (2) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho phương trình cos6 x + sin6 x= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 1/4 ≤ m ≤ 1

B. 1/2 ≤ m ≤ 1

C. 1/2 ≤ m ≤ 2

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos6 x + sin6 x= m

⇒ (cos2 x+ sin2 x) . (cos4 x – cos2x. sin2 x+ sin4 x) =m

⇒ 1.[ (cos2x+ sin2 x)2 – 3.cos2 x. sin2 x= m

Với mõi ta a luôn có: - 1 ≤ sin2x ≤ 1 nên 0 ≤ sin2 2x ≤ 1

Do đó; để phương trình đã cho co nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

Chọn B.

Ví dụ 7. Cho phương trình: 4(sin4 x + cos4 x ) -8(sin6 x + cos6 x) -4sin2 4x = m trong đó m là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có:

+ Ta tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. Rồi từ đó suy ra các giá trị của m để phương trình đã cho vô nghiệm.

(1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm thoả t0 thuộc [-1;1] .

Chọn D.

Ví dụ 8. Cho phương trình cos(x-300) + sin( x+ 600)= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A.0 ≤ m ≤ 1

B. -1 ≤ m ≤ 2

C. - 1 ≤ m ≤ 1

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos(x- 300) - sin(x+ 600) + sinx = m

⇒ cosx . cos300+ sinx. sin300 - sinx. cos600 - cosx. sin600 + sinx= m

⇒ sinx= m (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

Chọn C.

Câu 1:Cho phương trình: cosx. sinx – 2m– 2sinx+ m.cosx= 0.Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

A.0 ≤ m ≤ 1

B. -1 ≤ m ≤ 2

C. - 2 ≤ m ≤ 1

D. -1 ≤ m ≤ 1

Hiển thị lời giải

Ta có: cosx.sinx – 2m -2sinx + m. cosx = 0

⇒ (cosx. sinx -2sinx) + ( m. cosx – 2m) = 0

⇒ sinx( cosx- 2) + m( cosx- 2) = 0

⇒ ( sinx + m) . (cosx- 2) = 0

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình sinx= - m có nghiệm

⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

Chọn D.

Câu 2:Cho phương trình cos2x+ 4cosx+ m= 0. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. -7 ≤ m ≤ 1

B. -5 ≤ m ≤ 2

C. – 6 ≤ m ≤ 2

D. - 4 ≤ m ≤ 2

Câu 3:Cho phương trình cos( x+ y) – cos( x-y) = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

A. -3 ≤ m ≤ 1

B. -2 ≤ m ≤ 2

C. – 3 ≤ m ≤ 1

D. - 4 ≤ m ≤ 2

Câu 4:Cho phương trình sin6 x- cos6 x + cos2x= m. Biết rằng khi m thuộc đoạn [a; b] phương trình đã cho có nghiệm. Tính a+ b

A. – 2

B. -1

C. 0

D. 1

Hiển thị lời giải

Ta có:sin6 x- cos6 x + cos2x= m

⇒ (sin2 x- cossin2 x) . ( sinsin4 x+ sin2 x. cos2 x+ cossin4x)+ cos2x = m

⇒ - cos2x. [ (sinsin2 x+ cossin2 x)sin2 – sinsin2 x.cossin2 x] + cos2x= m

Chon C.

Câu 5:Cho phương trình:

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Điều kiện: cos2x #0

Ta có: sin6 x+ cos6 x= (sin2 x+ cos2x). (sin4 x- sin2x.cos2x + cos4 x)

= 1. [ (sin2 x+ cos2 x)2 – 3sin2 x.cos2 x] = 1- 3/4 sin2 2x

Khi đó phưởng trình đã cho trở thành:

Chọn C  

Câu 6:Cho phương trình cos( 900- x)+ sin( 1800- x) + sinx= 3m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm

A. 3

B. 4

C. 2

D .5

Câu 7:Cho phương trình: sin2 x+ (m-1) sinx – m = 0. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình trên có nghiệm.

A.m > 2

B. m < 1

C. 1 < m < 10

D.Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Hiển thị lời giải

Ta có; sin2 x+ (m-1)sinx – m= 0

⇒ sin2 x – sinx + m.sinx- m= 0

⇒ sinx(sinx -1) + m.(sinx -1) = 0

⇒ (sinx – 1).(sinx+ m)= 0

Vì phương trình sinx= 1 có nghiệm là x= π/2+k2π

⇒ Phương trình đã cho luôn nhận x= π/2+k2π làm nghiệm

⇒ Với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm

Chọn D.

Câu 8:Cho phương trình sin2x+ 2sin2 x+ 4cos2 x=m. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. -3√2 ≤ m ≤ 3√2

B. 3- √2 ≤ m ≤ √2+3

C. 2- √2 ≤ m ≤ √2+2

D. -2√2 ≤ m ≤ 2√2

Câu 9:Để phương trình

A. -1 ≤ m < -1/4

B. -2 ≤ m ≤ -1

C.0 ≤ m ≤ 2

D.(- 1)/4 ≤ m ≤ 0

Hiển thị lời giải

Chọn A.

Câu 10:Để phương trình:

A.- 1 ≤ a ≤ 0 .

B. - 2 ≤ a ≤ 2.

C. - 1/2 ≤ m ≤ 1/4.

D. - 2 ≤ m ≤ 0

Hiển thị lời giải

Chọn B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản hay, chi tiết

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình sinx= m thì phương trình này có hai họ nghiệm là:

Chú ý: phương trình sinx= m chỉ có nghiệm khi: - 1 ≤ m ≤ 1.

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cosx=m thì phương trình đã cho có hai họ nghiệm:

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình tanx= m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cot x = m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ

+ Các trường hợp đặc biệt :

• Sinx=0 ⇔ x=kπ

• Sinx= 1 ⇔ x= π/2+k2π

• Sinx= -1 ⇔ x= (-π)/2+k2π

• cos= 0 ⇔ x= π/2+kπ

• cosx= 1 ⇔ x=k2π

• cosx=- 1 ⇔ x= π+k2π

Ví dụ 1. Hỏi x=7π/3 là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. 2sinx - √3=0.

B. 2sinx+ √3=0.

C. 2cosx- √3=0

D.2cosx+ √3=0.

Lời giải

Chọn A

Cách 1.

Với x=7π/3 , suy ra

Cách 2. Thử x=7π/3 lần lượt vào các phương trình.

Ví dụ 2. Giải phương trình sin(2x/3- π/3)=0.

A. x=kπ (k∈Z)

B.

C.

D.

Lời giải.

Chọn D.

Ta có : sin(2x/3- π/3)=0.

⇔ 2x/3- π/3=kπ (k∈Z)

⇔ 2x/3= π/3+kπ ⇔ x= π/2+ k3π/2 ( k∈Z).

Ví dụ 3. Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y= sin3x và y= sinx bằng nhau?

A.

B.

C.

D.

Lời Giải.

Chọn B.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: sin 3x= sinx

Ví dụ 4. Giải phương trình cot(3x-1)= -√3

A.

B.

C.

D.

Lời Giải.

Chọn A.

Ta có cot(3x-1)= -√3 ⇒ cot(3x-1)= cot(-π/6) .

⇔ 3x-1= (-π)/6+kπ ⇔ x= 1/3- π/(18 )+k. π/3 = 1/3+ 5π/(18 )+(k-1). π/3

Đặt k- 1=l suy ra nghiệm phương trình x= 1/3+ 5π/(18 )+l. π/3

Ví dụ 5. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tanx = 1?

A. sinx= √2/2

B. sinx= √2/2

C. cotx= 1

D.cot2x = 1

Lời giải

Chọn C.

Ta có: tanx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).

Xét đáp án C, ta có cotx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).

Cách 2. Ta có đẳng thức tanx=1/cotx . Kết hợp giả thiết tanx=1, ta được cotx=1. Vậy hai phương trình tanx= 1 và cotx= 1 là tương đương.

Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. Vô số.

Lời giải

Chọn C.

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cosx= a.

+ Phương trình có nghiệm khi |a| ≤ 1.

+Phương trình vô nghiệm khi |a| > 1.

Do đó, phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm khi và chỉ khi

Vậy có 3 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos(2x- π/3)-m=2 có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.

A. T= 6

B. T=3

C. T= - 3

D. T= - 6

Lời giải

Chọn D.

Phương trình cos(2x- π/3)-m=2 ⇔ cos(2x- π/3)= m+2.

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ m+2 ≤ 1 ⇔ - 3 ≤ m ≤ -1.

Mà m nguyên nên m∈{-3;-2;-1}

Suy ra: T= - 3+ ( -2)+ (-1)= - 6

Ví dụ 8. Giải phương trình: tan⁡(π/3+x)=tan π/4

A. -π/12+kπ

B. π/12+kπ

C. -π/3+kπ

D. -π/4+kπ

Lời giải

Ta có: tan⁡(π/3+x)=tan π/4

⇔ π/3+x= π/4+kπ ( k∈Z)

⇔ x= π/4- π/3+kπ= (-π)/12+kπ

Chọn D .

Ví dụ 9. Giải phương trình: cos⁡((x+ π)/4)= 1/2

A. x= π/3+4kπ hoặc x= (- π)/3+k4π)

B. x= π/12+4kπ hoặc x= (- π)/12+k4π)

C. x= π/3+4kπ hoặc x= (- 7π)/3+k4π)

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos⁡((x+ π)/4)= 1/2 hay cos⁡((x+ π)/4)= cos π/3

Chọn C

Ví dụ 10. Giải phương trình : sinx= 2/5

A. x= α+k2π hoặc x= - α+k2π

B. x= α+k2π hoặc x= π+ α+k2π

C. x= α+kπ hoặc x= π- α+kπ

D. x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π

Với sinα= 2/5

Lời giải

Vì - 1 < 2/5 < 1 nên có số α để sinα = 2/5

Khi đó sinx= 2/5 ⇔ sinx= sinα nên x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π

Chọn D

Ví dụ 11. Giải phương trình tanx= 2

A. 2+ kπ

B. arctan 2+ kπ

C.2+ k2π

D. arctan 2+ k 2π

Lời giải

Ta có: tanx = 2 ⇒ x= arctan2+ kπ ( k∈Z)

Chọn B.

Ví dụ 12. Giải phương trình : cot⁡(π/3+x)=cot(π+x)/2

A. π/3+ k4π

B. π/3+ k2π

C. π/3+ kπ

D. π/6+ kπ

Lời giải

Ta có: cot⁡(π/3+x)=cot (π+x)/2

⇒ π/3+x= (π+x)/2+kπ với k∈Z

⇒ x- x/2= π/2- π/3+kπ

⇒ x/2= π/6+kπ x=π/3+ k2π

Chọn B.

Ví dụ 13. Giải phương trình cos(400+ x)= cos( 800 –x)

A. x= 200+ k. 1800

B. x= 200+ k. 3600

C. x= - 400+ k.1800

D. Cả A và C đúng

Lời giải

Ta có: cos( 400+ x) = cos( 800 – x)

Chọn A.

Ví dụ 14. Giải phương trình: cos(x+ 100) = 1/3

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: cos( x+100) = 1/3

Chọn C.

Câu 1:Giải phương trình cos(π/3-x)=0

A. - π/2+l2π

B. - π/3+l2π

C. π/6+l2π

D. - π/6+l2π

Câu 2:Phương trình: sin( 2x/3- π/3)=0 có nghiệm là:

A.

B.x=kπ .

C.

D.

Câu 3:Nghiệm của phương trình: sinx.(2cosx-√3)=0 là:

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn A

D.

Câu 4:Cho phương trình sin(x-100) = 2m+ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm ?

A. 1

B.2

C. 3

D .4

Câu 5:Giải phương trình sinx= -1/3

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn C.

Ta có: sinx=-1/3

D.

Câu 6:Giải phương trình cot x = 3

A. arccot 3 + k. π ( k∈Z)

B. arctan 3 + k. π ( k∈Z)

C. arccot 3 + k. 2π ( k∈Z)

D. - arccot 3 + k. π ( k∈Z)

Câu 7:Giải phương trình cos(x+ π)/3= (- 1)/2

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn B

Câu 8:Giải phưởng trình sinx=sin⁡(2x- π/3)

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn D.

Câu 9:

Câu 10:Giải phương trình tanx=(- √3)/3

A. - π/6+kπ

B. π/6+kπ

C. - π/3+kπ

D. π/3+k2π

Câu 11:Giải phương trình cot( x- π/2)=cot⁡( (π/4-x)

A. 3π/8+kπ

B. 3π/8+kπ/2

C. 3π/4+kπ/2

D. 3π/4+kπ

Câu 12:Giải phương trình tanx = cot( x+ π/3)

A. π/12+ kπ

B. π/6+ kπ/2

C. π/12- kπ/2

D. π/3+ kπ

Câu 13:Giải phương trình sinx = cosx

A. π/4+k2π

B. π/4+kπ

C. π/2+kπ

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Lời giải

Ta có: sinx = cosx

⇒ sinx= sin(π/2-x)

.

Chọn B.

Câu 14:Nghiệm của phương trình sin3x= cosx là:

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Lời giải

Chọn A.

Ta có: sin3x= cosx

.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi