Đề bài
Qua điểm \[S\] nằm bên ngoài đường tròn \[[O]\], vẽ tiếp tuyến \[SA\] và cát tuyến \[SBC\] của đường tròn. Tia phân giác của \[\widehat{BAC}\] cắt dây \[BC\] tại \[D.\] Chứng minh \[SA = SD.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
+] Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến của dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn.
Lời giải chi tiết
Gọi \[E\] là giao điểm thứ hai của \[AD\] với đường tròn \[[O].\]
Xét đường tròn \[[O]\] ta có:
+] \[\widehat{ADS}\] là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung \[AB\] và \[CE.\]
\[\Rightarrow \widehat {ADS}=\dfrac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{CE}}{2}.\] [1]
+] \[\widehat{SAD}\] là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \[AE.\]
\[\Rightarrow \widehat {SAD}=\dfrac{1}{2} sđ\overparen{AE}.\] [2]
+] Có: \[\widehat {BAE} = \widehat {EAC}\] [do \[AE\] là phân giác góc \[BAC\]
\[\Rightarrow \] \[\overparen{BE}=\overparen{EC}\] [hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau].
\[\Rightarrow sđ\overparen{AB} + sđ\overparen{EC}\]\[ = sđ\overparen{AB} + sđ\overparen{BE}=sđ\overparen{AE}\] [3]
Từ [1], [2], [3] \[\Rightarrow\widehat {ADS}=\widehat {SAD}\]\[\Rightarrow\] tam giác \[SDA\] cân tại \[S\] hay \[SA=SD\].
loigiaihay.com