Đề bài - bài 13 trang 72 sgk toán 9 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Lời giải chi tiết

TH1:Tâm đường tròn nằm trong hai dây song song

Giả sử \[AB\] và \[CD\] là các dây song song của đường tròn \[[O]\]. Ta chứng minh\[\overparen{AC}\]= \[\overparen{BD}\].

Kẻ \[OI \bot AB\] \[[I \in AB]\] và \[OK \bot CD [K\in CD]\].

Do \[AB //CD\] nên \[I,O,K\] thẳng hàng.

Do các tam giác \[OAB, OCD\] là các tam giác cân đỉnh \[O\] nên các đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là phân giác.

Vì vậy ta có: \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}} \] và \[ \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\]

Ta có: \[\widehat {AOC} = {180^0} - \widehat {{O_1}} - \widehat {{O_3}} = {180^0} - \widehat {{O_2}} - \widehat {{O_4}} = \widehat {BOD}\]

Suy ra \[\overparen{AC}\]= \[\overparen{BD}\].

TH2:Tâm đường tròn nằm ngoài hai dây song song

Giả sử đường tròn \[\left[ O \right]\] có hai dây song song \[AB//CD.\] Ta chứng minh cung AC = cung BD .

Qua \[O\] kẻ đường kính \[EG//CD \Rightarrow EG//AB\] .

Nối \[OA,OC,OB,OD \Rightarrow OA = OB = OC = OD\] [= bán kính]

+ Xét tam giác \[OAB\] cân tại \[O\left[ {{\rm{do}}\,OA = OB} \right]\] nên \[\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\] [1]

Lại có \[EG//AB \Rightarrow \] \[\widehat {OAB} = \widehat {AOE};\,\widehat {OBA} = \widehat {BOG}\] [so le trong] [2]

Từ [1] và [2] suy ra \[\widehat {EOA} = \widehat {BOG}\] [*]

+ Xét tam giác \[OCD\] cân tại \[O\left[ {{\rm{do}}\,OC = OD} \right]\] nên \[\widehat {OCD} = \widehat {ODC}\] [3]

Lại có \[EG//CD \Rightarrow \] \[\widehat {OCD} = \widehat {COE};\,\widehat {ODC} = \widehat {DOG}\] [so le trong] [4]

Từ [3] và [4] suy ra \[\widehat {EOC} = \widehat {DOG}\] [**]

Từ [*] và [**] suy ra \[\widehat {EOA} - \widehat {EOC} = \widehat {BOG} - \widehat {DOG} \Leftrightarrow \widehat {AOC} = \widehat {BOD} \] \[\Rightarrow \overparen{AC}\]\[=\overparen{BD}\][đpcm]