Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Gọi \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AC\] và \[BD\] của tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[I\] là trung điểm của đoạn thẳng \[MN\] và \[P\] là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:
LG a
\[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0};\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \] với \[M\] là điểm bất kì trong không gian và \[I\] là trung điểm của \[AB\].
Lời giải chi tiết:
\[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IM},\] [Vì \[M\] là trung điểm của \[AC\]]
\[\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN}.\] [Vì \[N\] là trung điểm của \[BD\]]
Cộng từng vế ta được:
\[\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} \] \[= 2\left[ {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right] = \overrightarrow 0 \]
[Vì \[I\] là trung điểm của \[MN\]]
LG b
\[\overrightarrow{PI}=\dfrac{1}{4}[\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}].\]
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc ba điểm.
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
VP = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} } \right]\\
= \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {PI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {PI} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {PI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {PI} + \overrightarrow {ID} } \right]\\
= \frac{1}{4}\left[ {4\overrightarrow {PI} + \underbrace {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} }_{\overrightarrow 0 }} \right]\\
= \frac{1}{4}.4\overrightarrow {PI} \\
= \overrightarrow {PI} \\
= VT
\end{array}\]