Đề bài
Tìm \[a\] để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:\[d:\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\] và \[d':\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng \[{d}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + t{a_1}\\y = {y_0} + t{a_2}\\z = {z_0} + t{a_3}\end{array} \right.\] và \[d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0}' + t'{a_1}'\\y = {y_0}' + t'{a_2}'\\z = {z_0}' + t'{a_3}'\end{array} \right.\].
Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t, t' sau:
\[\,\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} + t{a_1} = {x_0}' + t'{a_1}'\\
{y_0} + t{a_2} = {y_0}' + t'{a_2}'\\
{z_0} + t{a_3} = {z_0}' + t'{a_3}'
\end{array} \right.\]
có đúng 1 nghiệm.
Lời giải chi tiết
Xét hệ\[\left\{\begin{matrix} 1+at=1-t' &[1]\\ t = 2+2t' & [2]\\ -1+2t=3-t' & [3] \end{matrix}\right.\]
Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất.
Giải [2] và [3] ta có \[t = 2\]; \[t' = 0\]. Thay vào phương trình [1] ta có \[1 + 2a = 1 => a =0\].
Vậy \[a = 0\] thì d và d' cắt nhau.