Đề bài
So sánh [không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi].
\[\sqrt {2005} - \sqrt {2004} \] với\[\sqrt {2004} - \sqrt {2003}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng: \[\dfrac{1}{{\sqrt A + \sqrt B }} \]\[= \dfrac{{\sqrt A - \sqrt B }}{{A - B}}\,\,\left[ {A,B \ge 0;\,A \ne B} \right]\]
Lời giải chi tiết
Ta có: \[ \displaystyle{1 \over {\sqrt {2005} + \sqrt {2004} }}\] \[ \displaystyle = {{\sqrt {2005} - \sqrt {2004} } \over {[\sqrt {2005} + \sqrt {2004} ][\sqrt {2005} - \sqrt {2004} ]}}\]
\[ \displaystyle = {{\sqrt {2005} - \sqrt {2004} } \over {2005 - 2004}}\]\[ = \sqrt {2005} - \sqrt {2004} \,[1]\]
Ta có:
\[ \displaystyle{1 \over {\sqrt {2004} + \sqrt {2003} }}\] \[ \displaystyle= {{\sqrt {2004} - \sqrt {2003} } \over {[\sqrt {2004} + \sqrt {2003} ][\sqrt {2004} - \sqrt {2003} ]}}\]
\[ \displaystyle = {{\sqrt {2004} - \sqrt {2003} } \over {2004 - 2003}}\]\[ = \sqrt {2004} - \sqrt {2003} \,[2]\]
Vì \[ \displaystyle\sqrt {2005} + \sqrt {2004} >\]\[ \displaystyle\sqrt {2004} + \sqrt {2003} \] nên:
\[ \displaystyle{1 \over {\sqrt {2005} + \sqrt {2004} }} < {1 \over {\sqrt {2004} + \sqrt {2003} }}\] [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra:
\[ \displaystyle\sqrt {2005} - \sqrt {2004} \] < \[ \displaystyle\sqrt {2004} - \sqrt {2003}\]