Đề bài
Cho hình lăng trụ ABC. ABC. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB và AC. Điểm K thuộc BC sao cho \[\overrightarrow {KC'} = - 2\overrightarrow {KB'} \] . Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
Đặt \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c .\]
Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AI} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} } \right] \cr & = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow b + \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right] \cr & = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right];\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \cr & \overrightarrow {AJ} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC'} } \right] \cr & = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow a + \overrightarrow c } \right] \cr & = {1 \over 2}\left[ {2\overrightarrow a + \overrightarrow c } \right].\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right] \cr & \overrightarrow {AK} = {{\overrightarrow {AC'} + 2\overrightarrow {AB'} } \over 3} \cr & = {{\overrightarrow a + \overrightarrow c + 2\left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right]} \over 3} \cr & = {{3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b + \overrightarrow c } \over 3}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 3 \right] \cr} \]
Từ [1], [2], [3] ta có \[\overrightarrow {AK} = {2 \over 3}\left[ {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AJ} } \right]\]
Vậy \[\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} ,\overrightarrow {AK} \] đồng phẳng, tức là các điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng.
Chú ý: Có thể chứng minh các điểm A, I, J, K thuộc một mặt phẳng bằng cách chứng minh AI và JK cắt nhau tại điểm M.