Đề bài
Cho hình tròn [O; R] hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Dựng cung tròn tâm A bán kính AC. Tính diện tích hình quạt ACD và hình trăng khuyết [ tô đậm].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
\[{S_q} =\dfrac {{\pi {R^2}n}}{ {360}}\]
Diện tích hình viên phân:\[S = {S_q} - {S_{tam giác}}\]
Lời giải chi tiết
Ta có AOC vuông cân có cạnh R
\[\Rightarrow AC = AD = R\sqrt 2 \] và \[\widehat {CAD} = 90^\circ \] [chắn nửa đường tròn]
Do đó diện tích hình quạt ACD là :
\[\dfrac{{\pi {{\left[ {R\sqrt 2 } \right]}^2}.90}}{ {360}} =\dfrac {{\pi {R^2}}}{2}\]
Lại có \[{S_{ACD}} = \dfrac{1 }{ 2}R\sqrt 2 .R\sqrt 2 = {R^2}\]
Þ Diện tích hình viên phân CmD là :
\[S_{\text{quạt}}- S_{ACD}=\dfrac{{\pi {R^2}} }{ 2} - {R^2} \]\[\,=\dfrac {{{R^2}\left[ {\pi - 2} \right]} }{2}\]
Diện tích [O; R] là πR2suy ra diện tích nửa đường tròn [O; R] là \[\dfrac{{\pi {R^2}}}{ 2}\].
Từ đó diện tích hình trăng khuyết CBDm là :
\[\dfrac{{\pi {R^2}}}{ 2} -\dfrac {{{R^2}\left[ {\pi - 2} \right]} }{ 2} = {R^2}\].