Bài tập số phức giải phương trình
|
Phương pháp giải Show
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’+ b’i trong đó a, b, a’, b’ ∈ ℝ. Khi đó z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i z – z’ = (a – a’) + (b – b’)i zz’ = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i  Ví dụ: Hai số phức z1 = 3 – 7i, z2 = 4 + 3i có z1 + z2 = (3 + 4) + (–7 + 3)i = 7 – 4i z1 – z2 = (3 – 4) – (–7 – 3)i = – 1 – 10i z1 . z2 = [3.4 – (–7).3] + [3.3 + 4. (–7)] i = 33 – 19i Bài tập: Bài tập 1: Tất cả các số phức z thỏa mãn 2z – 3(1 + i) = iz + 7 – 3i là A. B. z = 4 – 2i C. D. z = 4 + 2i Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: 2z – 3(1 + i) = iz + 7 – 3z ⇔ (2 – i)z = 10 Bài tập 2: Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ) thỏa mãn z + 1 + 3i – |z|i = 0. Giá trị S = a – 3b là A. B. S = 3 C. S = – 3 D. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: z + 1+ 3i – |z|i = 0 Bài tập 3: Tính C = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20. Hướng dẫn giải Áp dụng công thức cấp số nhân: Ta có: C = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20 Ta có: (1 + i)2 = 2i ⇒ (1 + i)21 = (1 + i)20 . (1 + i) = (2i)10 . (1 + i) = −210. (1 + i) = −210 – i.210 Do đó: Bài tập 4: Tính tổng S = i + 2i2 + 3i3 + … + 2012.i2012 A. −1006 + 1006i B. 1006 + 1006i C. −1006 – 1006i D. 1006 – 1006i Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Ta có: iS = i2 + 2i3 + 3i4 + … + 2012.i2013 ⇒ S – iS = i + i2 + i3 + … + i2012 – 2012.i2013 Dãy số i, i2, i3, …, i2012 là một cấp số nhân có công bội q = 1 và có 2012 số hạng, suy ra: Do đó: S – iS = −2012.i2013 = –2012i Cách 2: Dãy số 1, x, x2, …, x2012 là một cấp số nhân gồm 2013 số hạng và có công bội bằng x. Xét x ≠ 1, x ≠ 0 ta có: (1) Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được: (2) Nhân hai vế của (2) cho x ta được: (3) Thay x = i vào (3) ta được: Với i2014 = −1, i2013 = i Vậy Bài tập 5: Cho α, β hai số phức liên hiệp thỏa mãn và . Tính |α|. A. B. 3 C. 2 D. Hướng dẫn giải Chọn C Đặt α = x + iy ⇒ β = x – iy với x, y ∈ ℝ Không giảm tính tổng quát, ta có y ≥ 0. Vì nên Do α, β hai số phức liên hợp nên α, β ∈ ℝ, mà do đó α3 ∈ ℝ. Nhưng ta có α3 = x3 – 3xy2 + (3x2y – y3).i nên α3 ∈ ℝ khi và chỉ khi 3x2y – y3 = 0 ⇔ y (3x2 – y2) = 0 ⇒ x2 = 1 Vậy . Bài tập 6: Tìm c biết a, b và c các số nguyên dương thỏa mãn: c = (a + bi)3 −107i. A. 400 B. 312 C. 198 D. 123 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có c = (a + bi)3 −107i = a3 – 3ab2 + i.(3a2b – b3 – 107). Nên c là số nguyên dương thì 3a2b – b3 – 107 = 0 hay b (3a2 – b2) = 107. Vì a, b ∈ Z+ và 107 số nguyên tố nên xảy ra: b = 107; 3a2 – b2 ⇒ H26 (loại) b = 1; 3a2 – b2 = 107 ⇒ a2 =36 ⇒ a = 6 (thỏa mãn) Vậy nên c = a3 – 3ab2 = 63 – 3.6.12 = 198 Dạng 2: Tìm số phức liên hợp, tính môđun số phứcPhương pháp giải Số phức z = a+ bi có và Chú ý: Nếu z = a + bi thì Ví dụ: Số phức liên hợp của số phức z = (2 – 3i)(3 + 2i) là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Ta có: z = (2 – 3i)(3 + 2i) = 6 – 5i – 6i2 = 12 – 5i ⇒ Chọn D Bài tập mẫu Bài tập 1: Cho số phức z = a + bi, với a, b là các số thực thỏa mãn a + bi + 2i(a – bi) + 4 = i, với i là đơn vị ảo. Môđun của ω = 1 + z + z2 là A. |ω| = B. |ω| = C. |ω| = 229 D. |ω| = 13 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có a + bi + 2i(a – bi) + 4 = i Suy ra z = 2 – 3i Do đó ω = 1 + z + z2 = –2 – 15i. Vậy Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn . Môđun của số phức .là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có ⇒ z = –1 – 2i ⇒ w = i. (–1 + 2i) + (–1 – 2i) = – 3 – 3i ⇒ Bài tập 3: Cho z1, z2 là các số phức thỏa mãn |z1| = |z2|= 1 và . Giá trị của biểu thức P = |2z1 + z2| là A. P = 2 B. P = C. P = 3 D. P = 1 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt z1 = a1 + b1i; a1, b1 ∈ ℝ, z2 = a2 + b2i; a2, b2 ∈ ℝ Suy ra a12 + b12 = a22 + b22 = 1 và Ta có 2z1 + z2 = 2a1 + a2 + (2b1 + b2)i Suy ra P = |2z1 + z2| = 2 Dạng 3: Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phứcBài tập 1: Cho A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức . Số phức có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành là A. z = –6 – 4i B. z = –6 + 3i C. z = 6 – 5i D. z = 4 – 2i Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: A là điểm biểu diễn của số phức 4 – 3i nên A(4; –3) B là điểm biểu diễn của số phức (1 + 2i)i = –2 + i nên B(– 2; 1) C là điểm biểu diễn của số phức nên C(0; –1) Điều kiện để ABCD là hình bình hành là Bài tập 2: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số phức z1= 2 – i, z2 = – 1 + 6i, z3 = 8 + i. Số phức z4 có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. z4 = 3– 2i B. |z4| = 5 C. (z4)2 = 13 + 12i D. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có A(2; –1), B(–1; 6), C(8; 1) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. ⇒ G(3; 2) ⇔ z4 = 3 + 2i ⇒ Bài tập 3: Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn |z1| = 3, |z2|= 4 và |z1 − z2| = 5. Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1, z2 trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích S của ∆OAB (với O là gốc tọa độ) là A. S = B. S = 6 C. S = D. S = 12 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: |z1| = OA = 3, |z2|= OB = 4 và |z1 − z2| = AB = 5 ⇒ ∆OAB vuông tại O (vì OA2 + OB2 = AB2) ⇒ Dạng 4: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trướcBài tập 1: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ) Ta có hệ phương trình Do đó z = 1 + i nên có một số phức thỏa mãn Bài tập 2: Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện và |z| = 2? A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có Suy ra điểm M biểu diễn số phức z là giao của hai đường tròn (C1): x2 + y2 = 4 và (C2): (x + 4)2 + y2 = 4 Vì I1I2 = R1 + R2 (I1, I2 là tâm của các đường tròn (C1), (C2) nên (C1) và (C2) tiếp xúc nhau). Suy ra: Có một số phức z thỏa mãn yêu cầu Bài tập 3: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn |z|(z – 6 – i) + 2i = (7 – i)z? A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 Hướng dẫn giải Chọn B Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi |z| cho ta duy nhất một số phức z. Đặt |z| = a ≥ 0, a ∈ ℝ, khi đó ta có |z|(z – 6 – i) + 2i = (7 – i) ⇔ a(z – 6 – i) + 2i = (7 – i)z ⇔ (a – 7 – i)z = 6a + ai –2i ⇔ (a – 7 – i)z = 6a + (a – 2)i ⇔ |(a – 7 – i)|.|z| = |6a + (a – 2)i| ⇔ [(a – 7)2 + 1]a2 = 36a2 + (a – 2)3 ⇔ a4 – 14a3 + 13a2 + 4a – 4 = 0 ⇔ (a – 1)(a3 – 13a2 + 4) = 0 Hàm số f(a) = a3 – 13a2 (a ≥ 0) có bảng biến thiên Đường thẳng y = –4 cắt đồ thị hàm số f(a) tại hai điểm nên phương trình a3 – 13a2 + 4 = 0 có hai nghiệm khác 1 (do f(1) ≠0). Thay giá trị môđun của z vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa mãn điều kiện Bài tập 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn |z – (2m – 1) – i| = 10 và ? A. 40 B. 41 C. 165 D. 164 Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử z = x + yi (x, y ∈ ℝ) và M(x, y) là điểm biểu diễn số phức z. Ta có: |z – (2m – 1) – i| = 10 ⇔ |z – (2m – 1) – i|2 = 100 ⇔ [x – (2m – 1)]2 + (y – 1)2 = 100 Khi đó điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn (C) có tâm I(2m – 1; 1), bán kính R = 10. Lại có: Khi đó điểm biểu diễn của số phức z cũng nằm trên đường thẳng ∆: 2x + 8y – 11 = 0 Có đúng hai số phức z thỏa mãn nếu đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt. Tức là Vậy có 41 giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài tập 5: Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn |z1|= 3, |z2| = 4, . Hỏi có bao nhiêu số z mà ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải Đặt z1 = x + yi, z2 = c + di (x, y, c, d ∈ ℝ). Ta có: |z1| = 3 ⇒ x2 + y2 = 9 |z2| = 4 ⇒ c2 + d2 = 16 ⇒ x2 + y2 + c2 + d2 – 2xc – 2yd = 37 ⇔ xc + yd = –6 Lại có: Suy ra Mà Vậy có hai số phức z thỏa mãn Bài tập 6: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn và . Số phần tử của S là A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 Hướng dẫn giải Chọn A Dễ thấy m > 0 Đặt z = a + bi; a, b ∈ ℝ ta có hệ phương trình Phương trình a2 + b2 = 1 là đường tròn tâm O, bán kính R = 1 Phương trình là đường tròn tâm , bán kính R = m Có duy nhất số phức thỏa mãn đề bài ⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ Hai đường tròn này tiếp xúc với nhau ⇔ (thỏa mãn m > 0) Vậy có hai số thực thỏa mãn. Bài tập 7: Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| = 1 và A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt z = a + bi, (a, b ∈ ℝ). Ta có Ta có hệ Suy ra Vậy có 8 cặp số (a; b) do đó có 8 số phức thỏa mãn. Dạng 5: Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phứcPhương pháp giải Sử dụng các định nghĩa, tính chất hình học đã biết. Cho trước các điểm cố định I, F1, F2; F1F2 = 2c (c > 0) Tập hợp các điểm M thỏa mãn MI = R (R > 0) là đường tròn tâm I bán kính R Tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a (a > c) là elip có hai tiêu điểm là F1, F2. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1 = MF2 là đường trung trực của đoạn thẳng F1F2. Ví dụ: Trên mặt phẳng Oxy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 2 – 5i| = 4 là đường tròn tâm I(–2; 5), bán kính R = 2. Bài tập Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy, (x – a)2 + (y – b)2 = R2 là phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R > 0. Bài tập 1: Xét các số phức z thỏa mãn là số thực. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, có tâm I(a; b) và bán kính R. Giá trị a + b + R rằng A. 6 B. 4 C. 12 D. 24 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ) Vì là số thực nên x(x – 6) + y(y + 8) = 0 ⇔ (x – 3)2 + (y + 4)2 = 25 Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là đường tròn có tâm I(3; –4), bán kính R = 5. Vậy a + b + R = 4 Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn |z – 3| +|z + 3| = 10. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là A. Một parabol B. Một đường tròn C. Một elip D. Một hypebol Hướng dẫn giải Chọn C Gọi z = x + yi (x, y ∈ ℝ) thì |z – 3| + |z + 3| = 10 ⇔ |(x – 3) + yi| + |(x + 3) + yi|= 10 (*) Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và các điểm F1(3; 0), F2(–3; 0). Dễ thấy F1F2 = 6 = 2c Khi đó: |z – 3| + |z + 3| = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 = 2a Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là elip có hai tiêu điểm F1, F2, độ dài trục lớn là 2a = 10 Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 10 và . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm là A. I(–3; –4) B. I(3; 4) C. I(1; –2) D. I(6; 8) Hướng dẫn giải Chọn A Ta có Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn (C) có tâm I(–3; –4). Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn là đường thẳng có phương trình A. x – 2y + 1 = 0 B. x + 2y = 0 C. x – 2y = 0 D. x + 2y + 1= 0 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ) ⇒ Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z. Ta có Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương trình là x – 2y = 0. Bài tập 5: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều |2 + z| = |i – z| là A. Đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0 B. Đường thẳng 4x – 2y + 3= 0 C. Đường thẳng x + 2y – 3 = 0 D. Đường thẳng x + 9y – 3 = 0 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Đặt z = x + yi; (x, y ∈ ℝ) là số phức đã cho và M(x, y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức Ta có Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng 4x +2y + 3 = 0 Cách 2: |z + 2| = |i – z| ⇔|z – (–2)| = |i – z| (*) Đặt z = x + yi; (x, y ∈ ℝ) là số phức đã cho và M(x; y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức. Điểm A biểu diễn số –2 tức A(–2; 0) và điểm B biểu diễn số phức i tức B(0; 1). Khi đó (*) ⇔ MA = MB. Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường trung trực của AB: 4x + 2y + 3 = 0. Bài tập 6: Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là A. Đường thẳng x + y + 3 = 0 B. Đường thẳng x – 2y + 3= 0 C. Đường thẳng x + 2y + 3 = 0 D. Đường thẳng x – y – 1 = 0 Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử z = x + yi (x, y ∈ ℝ), điểm M(x, y) biểu diễn z. Theo bài ra ta có: Suy ra M thuộc đường thẳng có phương trình x – y – 1 = 0. Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng có phương trình x – y – 1 = 0 Dạng 6: Giải phương trình. Tính toán biểu thức nghiệm số phứcPhương pháp giải Cho phương trình az2 + bz + c = 0 (a, b, c ∈ ℝ; a ≠ 0) Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Áp dụng các phép toán trên tập số phức để biến đổi biểu thức Ví dụ: Xét phương trình z2 – 2z + 5 = 0 a) Giải phương trình trên tập số phức b) Tính |z1| + |z2| Hướng dẫn giải a) Ta có: ∆’ = 1 – 5 = –4 = (2i)2 Phương trình có hai nghiệm là z1 = 2 + 2i; z2 = 2 – 2i b) Ta có Suy ra Bài tập Bài tập 1: Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình z2 + 1= z (z ∈ ℂ)? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có z2 + 1 = z (z ∈ ℂ) Bài tập 2: Phương trình z2 + az + b = 0 (a, b ∈ ℝ) có nghiệm phức là 3 + 4i. Giá trị của a + b bằng A. 31 B. 5 C. 19 D. 29 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Do z = 3 + 4i là nghiệm của phương trình z2 + az + b = 0 nên ta có: (3 + 4i)2 + a(3 + 4i) + b = 0 ⇔ (3a + b – 7) + (4a + 24)i =0 Do đó a + b = 19 Cách 2: Vì z1 = 3 + 4i là nghiệm phương trình z2 + az + b = 0 nên z2 = 3 – 4i cùng là nghiệm của phương trình đã cho Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có Chú ý: Nếu z0 là nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực thì cũng là nghiệm của phương trình. Bài tập 3: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z2 + 6z + 34 = 0. Giá trị của |z0 + 2 − i| = 0 là A. B. 17 C. D. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: ∆’ = −25 = (5i)2. Phương trình có hai nghiệm là z = −3 + 5i; z = −3 – 5i Do đó Bài tập 4: Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z2 – 2z + 5 =0. Tọa độ điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức là A. P(3; 2) B. N(1; −2) C. Q(3; −2) D. M(1; 2) Hướng dẫn giải Chọn A Ta có Theo yêu cầu của bài toán ta chọn z1 = 1− 2i. Khi đó: Vậy điểm biểu diễn của số phức là P(3; 2) Bài tập 5: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 −4z – 5 = 0. Giá trị biểu thức (z1 – 1)2019 + (z2 – 1)2019 bằng A. 21009 B. 21010 C. 0 D. −21010 Hướng dẫn giải Chọn D Xét phương trình Khi đó ta có: (z1 – 1)2019 + (z2 – 1)2019 = (1 + i)2019 + (1 – i)2019 = (1 + i)[(1 + i)2]1009 + (1 – i)[(1 – i)2]1009 = (1 + i)(2i)1009 + (1 – i)(−2i)1009 = (2i)1009 [(1 + i) – (1 – i)] = (2i)1010 = (i2)505. 21010 = −21010 Dạng 7: Định lý Vi-ét và ứng dụng trong phương trình số phứcPhương pháp giải Định lý Vi-ét: Cho phương trình az2 + bz + c = 0; a, b, c ∈ ℝ; a ≠ 0 có hai nghiệm phức z1, z2 thì Ví dụ: Phương trình z2 − 4z + 24 = 0 có hai nghiệm phức z1, z2 nên z1 + z2 = 4; z1.z2= 24 Chú ý: Học sinh nhầm lẫn: Bài tập Bài tập 1: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 2z + 5 = 0. Giá trị của biểu thức z12 + z22 bằng A. 14 B. −9 C. −6 D. 7 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi z1, z2 là nghiệm của phương trình z2 − 2z + 5 = 0. Theo định lý Vi-ét, ta có Suy ra z12 + z22 = (z1 + z2)2 – 2z1z2 = 22 – 2.5 = −6 Bài tập 2: Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 + 2i? A. z2 – 2z + 3 = 0 B. z2 + 2z + 5 = 0 C. z2 – 2z + 5 = 0 D. z2 + 2z + 3 = 0 Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên phương trình bậc hai có nghiệm 1 + 2i thì nghiệm còn lại là 1 – 2i. Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt 2; 5 Vậy số phức 1 + 2i là nghiệm của phương trình z2 − 2z + 5 = 0 Chúng ta có thể giải từng phương trình: z2 − 2z + 3 = 0 z2 + 2z + 5 = 0 ⇔ (z + 1)2 = 4i2 ⇔ z + 1 = ± 2i ⇔ z = −1 ± 2i z2 − 2z + 5 = 0 ⇔ (z − 1)2 = 4i2 ⇔ z − 1 = ± 2i ⇔ z = 1 ± 2i z2 + 2z + 3 = 0 Bài tập 3: Kí hiệu z1, z2 là nghiệm phức của phương trình 2z2 + 4z + 3 = 0. Tính giá trị biểu thức P = |z1z2 + i(z1 + z2)| A. P = 1 B. P = C. P = D. P = Hướng dẫn giải Chọn D Ta có z1, z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2 + 4z + 3 = 0 Theo định lý Vi-ét ta có Ta có Bài tập 4: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 4z + 7 = 0. Giá trị của P = z13 + z23 bằng A. −20 B. 20 C. D. Hướng dẫn giải Chọn A Theo định lý Vi-ét ta có Suy ra z13 + z23 = (z1 + z2)( z12 – z1z2 + z22) = (z1 + z2) ((z1 + z2)2 – 3z1z2) = 4.(42 – 3.7) = −20 Cách khác: Ta có Do đó: Bài tập 5: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z2 − 2z + 27 = 0. Giá trị của z1|z2| + z2|z1| bằng A. 2 B. 6 C. D. Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng định lý Vi-ét, ta có và z1.z2 = 9 Mà Do đó Bài tập 6: Cho số thực a > 2 và gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 2z + a = 0. Mệnh đề nào sau đây sai? A. z1 + z2 là số thực B. z1 − z2 là số ảo C. là số ảo D. là số thực Hướng dẫn giải Chọn C Ta có . Đáp án A đúng Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp. Gọi z1= x + yi; x, y ∈ ℝ là một nghiệm, nghiệm còn lại là z2 = x – yi Suy ra z1 − z2 = 2yi là số ảo. Đáp án B đúng Vậy C là đáp án sai và D đúng Dạng 8: Phương trình số phức quy về phương trình bậc haiPhương pháp giải Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức Nắm vững cách giải một số phương trình quy về bậc hai, hệ phương trình đại số bậc cao;… Ví dụ: Giải phương trình: z4 – z2 – 6 = 0 trên tập số phức Hướng dẫn giải Đặt z2 = t, ta có phương trình Với t = 3 ta có Với t = −2 ta có Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm Bài tập mẫu Bài tập 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình 2z4 – 3z2 – 2 = 0 là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng Bài tập 2: Kí hiệu z1, z2, z3, z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z4 + 4z2 – 5 = 0. Giá trị của |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z4|2 bằng A. B. 12 C. 0 D. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là Do đó Bài tập 3: Gọi z1, z2, z3, z4 là các nghiệm phức của phương trình (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = 0. Giá trị của biểu thức S = |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z4|2 là A. S = 18 B. S = 16 C. S = 17 D. S = 15 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = 0 Đặt t = z2 + z, ta có Suy ra Suy ra Bài tập 4: Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình . Khi đó |z1 + z2| bằng A. 1 B. 4 C. 8 D. 2 Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện: z ≠ 0 Ta có: Vậy Bài tập 5: Cho số thực a, biết rằng phương trình z4 + az2 + 1 = 0 có bốn nghiệm z1, z2, z3, z4 thỏa mãn (z12 + 4)(z22 + 4) (z32 + 4) (z42 + 4) = 441. Tìm a A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B Nhận xét z2 + 4 = z2 – (2i)2 = (z + 2i)(z – 2i) Đặt f(x) = z4 + az2 + 1, ta có: Theo giải thiết, ta có Dạng 9: Phương pháp hình học trong cực trị số phứcPhương pháp giải Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ bài toán số phức sang ngôn ngữ hình học. Bước 2: Sử dụng một số kết quả đã biết để giải bài toán hình học. Bước 3: Kết luận cho bài toán số phức. Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của |z + 3i| bằng A. 3 B. C. D. 2 Hướng dẫn giải Chọn A Giả sử z = x + yi (x, y ∈ ℝ) ⇒ Khi đó Gọi M(x, y); A(0; −3) lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z; −3i thì |z + 3i| = MA Parabol y = x2 có đỉnh tại điểm O(0; 0), trục đối xứng là đường thẳng x = 0. Hơn nữa, điểm A thuộc trục đối xứng của parabol, nên ta có: MA ≥ OA = 3. Suy ra minMA = 3 khi M ≡ O. Vậy min |z + 3i| = 3, khi z = 0. Bài tập mẫu Bài tập 1: Cho số phức z thỏa mãn |z – 3 − 4i| = 1. Môđun lớn nhất của số phức z bằng A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M(x; y), I(3; 4) là các điểm biểu diễn lần lượt cho các số phức z; 3 + 4i. Từ giả thiết |z – 3 – 4i| = 1 ⇒ MI = 1. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(3; 4), bán kính r = 1. Mặt khác |z| = OM. Mà OM đạt giá trị lớn nhất OI + r, khi M là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn tâm I(3; 4), bán kính r = 1. Hay Do đó, max|z| = OI + r = 5 + 1 = 6, khi Nhận xét: OI – r ≤ OM =|z| ≤ OI + r Bài tập 2: Trong các số phức z thỏa mãn |z – 2 − 4i| = |z – 2i|, số phức z có môđun nhỏ nhất là A. z = 2 – 2i B. z = 1 + i C. z = 2 + 2i D. z = 1 − i Hướng dẫn giải Chọn C Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ). Khi đó |z – 2 − 4i| = |z – 2i| ⇔ x + y – 4 = 0 (d). Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d. Do đó |z| = OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên d. Suy ra M(2; 2) hay z = 2 + 2i. Nhận xét: Trong tất cả các đoạn thẳng kẻ từ điểm O đến đường thẳng d, đoạn vuông góc OM ngắn nhất. Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn |z + 3| + |z – 3| = 10. Giá trị nhỏ nhất của |z| là A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Gọi F1(–1; 0), F2(3; 0), có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến thì Ta có Đẳng thức xảy ra khi Khi z = 4i hoặc z = –4i Cách 2: Gọi F1(–3; 0), F2(3; 0), M(x, y); (x, y ∈ ℝ) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức –3; 3; z. Ta có F1F2 = 2c = 6 ⇒ c = 3. Theo giả thiết ta có MF1 + MF2 = 10, tập hợp điểm M là đường elip có trục lớn 2a = 10 ⇒ a = 5; trục bé Mặt khác OM = |z| nhỏ nhất bằng 4 khi z = 4i hoặc z = –4i Vậy giá trị nhỏ nhất của |z| bằng 4. Nhận xét: +) Với mọi số thực a, b ta có bất đẳng thức +) Với mọi điểm M nằm trên elip đoạn OM ngắn nhất là đoạn nối O với giao điểm của trục bé với elip. Bài tập 4: Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z – i| = 10. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z| là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D Gọi A(0; –1), B(0; 1) đoạn thẳng AB có trung điểm O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến Theo giả thiết 4MA + 3MB = 10. Đặt Khi đó Ta có Do nên (Thiếu – nhớ thêm vô nghen ck) Dạng 10: Phương pháp đại số trong cực trị số phứcPhương pháp giải Các bất đẳng thức thường dùng Cho các số phức z1, z2 ta có: a) |z1| + |z2| ≥ |z1 + z2| (1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b) |z1 + z2| ≥ ||z1| − |z2|| (2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Cho các số thực a, b, x, y ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx. Bài tập Bài tập 1: Cho số phức z = a + (a −3)i, (a ∈ ℝ). Giá trị của a để khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức z đến gốc tọa độ là nhỏ nhất bằng A. B. C. a = 1 D. a = 2 Hướng dẫn giải Chọn A Đẳng thức xảy ra khi . Hay Bài tập 2: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 2 – 4i| = |z – 2i|, số phức z có môđun nhỏ nhất là A. z = 1 + 2i B. z = −1 – I C. z = 2 + 2i D. z = −1 + i Hướng dẫn giải Chọn C Gọi z = a + bi (a, b ∈ ℝ) Suy ra Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn , biết đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của |z| bằng A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C Gọi z = a + bi (z ≠ 2i) (a, b ∈ ℝ) Suy ra Vậy Bài tập 4: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 – z2 = 3 + 4i và |z1 + z2| = 5. Giá trị lớn nhất của biểu thức |z1| +|z2| là A. 5 B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 2(|z1|2 + |z2|2) = |z1 + z2|2 + |z1 – z2|2 = 52 + 32+ 42 = 50 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có: Gọi z1 = x + yi, z2= z + bi; x, y, a, b ∈ ℝ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và . Hay Thay z1, z2 vào giả thiết thỏa mãn Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức |z1| +|z2| bằng Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. Bài tập 5: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = |1 + z| + 3|1 – z| bằng A. C. B. D. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có Đẳng thức xảy ra khi Vậy Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn |z – 1 + 2i| = 2. Giá trị lớn nhất của |z + 3 – i| bằng A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có |z + 3 – i| = |( z – 1 + 2i) + (4 – 3i) ≤ |z – 1 + 2i| + |4 – 3i| = 7 Đẳng thức xảy ra khi Vậy giá trị lớn nhất của |z + 3 – i| bằng 7. Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức |z1| + |z2| ≥ |z1 + z2|. Bài tập 7: Cho số phức z thỏa mãn |z – 3 + 4i| = 4. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức z. Giá trị của M. m bằng A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: |z| = |(z – 3 + 4i) + (3 −4i)| ≤ |z – 3 + 4i| + |3 −4i| = 4 + 5 = 9 = M Đẳng thức xảy ra khi Mặt khác |z| = |(z – 3 + 4i) + (3 −4i)| ≥ ||z – 3 +4i| − |3 −4i|| = |4 – 5| = 1 = m. Đẳng thức xảy ra khi Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức. |z1| + |z2| ≥ |z1 +z2| và ||z1| − |z2|| ≤ |z1 – z2|. Bài tập 8: Cho số phức z thỏa mãn |z2 + 4| = |z(z + 2i)|. Giá trị nhỏ nhất của |z + i| bằng A. 2 B. C. 1 D. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: |z2 + 4| = |z (z + 2i)| ⇔ |(z + 2i)(z – 2i)| = |z (z + 2i)| ⇔ |z + 2i|.|z – 2i| = |z|.|z + 2i| Do đó Chú ý: Với mọi số phức z1, z2: |z1.z2| = |z1|.|z2|. Bài tập 9: Tìm số phức z thỏa mãn là số thực và |z| đặt giá trị nhỏ nhất A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D Gọi z = a + bi; a,b ∈ ℝ. Ta có: Do đó là số thực ⇔ 2a+ b – 2 = 0 ⇔ b = 2 – 2a Khi đó Đẳng thức xảy ra khi . Vậy Bài tập 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |z + i| + |z – 2 – i|. A. maxT = B. maxT = 4 C. maxT = D. maxT = 8 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ), ta có Lại có: Kết hợp với (*) ta được: Đặt T = x + y, khi đó với t ∈ [–1; 3] Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số Ta có Mà Vậy max f(t) = f(1) = 4. Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có Đẳng thức xảy ra khi t = 1 Bài tập 11: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z + 1| + |z2 + z + 1|. Khi đó giá trị của M + m bằng A. 5 B. 6 C. D. Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z = a + bi (a, b ∈ ℝ) và t = |z + 1|. Khi đó Ta có: (với 0 ≤ t ≤ 2, do a2 ≤ 1). Xét hàm số f (t) = t + |t2 – 1| với t ∈ [0; 2] Trường hợp 1: Và có f (0) = f (1) = 1 nên Trường hợp 2: t ∈ [1; 2] ⇒ f(t) = t + t2 – 1 = t2 + t – 1, f ’(t) = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ [1; 2] Do đó hàm số luôn đồng biến trên [1; 2] ⇒ Vậy . |
