Có bao nhiêu số nguyên a(a≥2) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn a^(log x 2)log a = x − 2
|
Trang chủ Sách ID Khóa học miễn phí Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên \(a\left( a\ge 2 \right)\) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn \({{\left( {{a}^{\log x}}+2 \right)}^{\log a}}=x-2?\)
Lời giải tham khảo: Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới. Đáp án đúng: A
Ta có: \({{\left( {{a}^{\log x}}+2 \right)}^{\log a}}=x-2\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{\log a}}+2 \right)}^{\log a}}=x-2\) Đặt \(b=\log a\Leftrightarrow a={{10}^{b}}.\) Vì \(a\ge 2\Rightarrow b\ge \log 2>0.\) Phương trình đã cho trở thành: \({{\left( {{x}^{b}}+2 \right)}^{b}}=x-2\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{b}}+2 \right)}^{b}}+\left( {{x}^{b}}+2 \right)={{x}^{b}}+x\left( * \right).\) Xét hàm số \(f\left( t \right)={{t}^{b}}+t\) ta có \(f’\left( t \right)=b{{t}^{b-1}}+1>0\Rightarrow \) Hàm số \(y=f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) Do đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{b}}+2=x\Leftrightarrow {{x}^{\log a}}=x-2\left( ** \right).\) Với \(\log a\ge 1\) ta có đồ thị hàm số như sau:  ⇒ Phương trình \(\left( ** \right)\) vô nghiệm. Với \(\log a ⇒ Phương trình \(\left( ** \right)\) có nghiệm ⇒ Thỏa mãn. \(\Rightarrow \log a Vậy có 8 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Có bao nhiêu số nguyên a (a≥ 2) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn: (alog(x) + 2)log(a) = x - 2 ? Các câu hỏi tương tự
Chọn câu A
Điều kiện $x>0.$ Đặt $y={{a}^{\log x}}+2>0$ thì ${{y}^{\log a}}=x-2\Leftrightarrow {{a}^{\log y}}+2=x$.
Từ đó ta có hệ $\left\{ \begin{align} & y={{a}^{\log x}}+2 \\ & x={{a}^{\log y}}+2 \\ \end{align} \right.$ Do $a\ge 2$ nên hàm số $f(t)={{a}^{t}}+2$ là đồng biến trên $\mathbb{R}.$ Giả sử $x\ge y$ thì $f( y )\ge f(x)$ sẽ kéo theo $y\ge x,$ tức là phải có $x=y.$ Tương tự nếu $x\le y.$
Vì thế,ta đưa về xét phương trình $x={{a}^{\log x}}+2$ với $x>0$ hay $x-{{x}^{\log a}}=2$
Ta phải có $x>2$ và $x>{{x}^{\log a}}\Leftrightarrow 1>\log a\Leftrightarrow a<10.$
Ngược lại,với $a<10$ thì xét hàm số liên tục $g(x)=x-{{x}^{\log a}}-2={{x}^{\log a}}({{x}^{1-\log a}}-1)-2$ có
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty $ và $g(2)<0.$
nên $g(x)$ sẽ có nghiệm trên $(2;+\infty ).$ Do đó,mọi số $a\in \{2,3,\ldots ,9\}$ đều thỏa mãn
Solution |
