Cho dây cung AB đi qua tiêu điểm của parabol [P]. Chứng minh rằng khoảng cách từ trung điểm I của dây AB đến đường chuẩn của [P] bằng \[{1 \over 2}AB\]. Từ đó có nhận xét gì về đường tròn đường kính AB?
Đề bài
Cho dây cung AB đi qua tiêu điểm của parabol [P]. Chứng minh rằng khoảng cách từ trung điểm I của dây AB đến đường chuẩn của [P] bằng \[{1 \over 2}AB\]. Từ đó có nhận xét gì về đường tròn đường kính AB?
Lời giải chi tiết
Gọi \[A',B',I'\]lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B,I lên đường chuẩn \[\Delta \]
Hình thang AA'B'B có I là trung điểm AB và II'//AA'//BB' nên II' là đường trung bình hình thang
\[ \Rightarrow II' = \frac{{AA' + BB'}}{2} \] \[\Rightarrow AA' + BB' = 2II'\]
Theo định nghĩa parabol ta có:
\[AA' = AF\]và \[BB' = BF\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow AB = AF+ FB \cr &= AA' + BB' = 2II' \cr
& \Rightarrow II' = d\left[ {I,\Delta } \right] = {{AB} \over 2}. \cr} \]
Từ đó suy ra đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường chuẩn.