Đề bài
Trên đường tròn [O; R] lần lượt lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự sao cho \[AB = R\sqrt 2 \] và sđ cung BC=300.
a] Tính số đo của cung AB không chứa điểm C và tính độ dài dây AC theo R.
b] Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BC tại D. Tính độ dài các cung AD, DB, AB của đường tròn [ABD] theo R.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh tam giác OAB vuông tại O suy ra số đo cung AB.
Gọi H là trung điểm của AC, chứng minh H là trung điểm của AC, tính AH, từ đó suy ra AC.
b] Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, tính số đo các góc \[\widehat {AO'D};\,\,\widehat {BO'D};\,\,\widehat {AO'B}\] với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Sử dụng công thức tính độ dài cung n0 của đường tròn có bán kính R là \[l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\].
Lời giải chi tiết
a] Xét tam giác OAB có: \[O{A^2} + O{B^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} = A{B^2}\]
\[ \Rightarrow \Delta OAB\] vuông tại O [định lí Pytago đảo]
\[ \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0} = sdcung\,AB\] [số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn].
Mà \[sdcung\,BC = {30^0} \Rightarrow \widehat {BOC} = {30^0}\][số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn].
\[ \Rightarrow \widehat {AOC} = \widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {90^0} + {30^0} = {120^0}\].
Gọi H là trung điểm của AC ta có \[OH \bot AC\] [quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung].
Xét tam giác OAC có \[OA = OC = R \Rightarrow \Delta OAC\] cân tại O \[ \Rightarrow OH\] là đường cao đồng thời là phân giác \[ \Rightarrow \widehat {AOH} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOC} = \dfrac{1}{2}{.120^0} = {60^0}\].
Xét tam giác vuông OAH có: \[AH = OA.\sin {60^0} = R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\]
\[ \Rightarrow AC = 2AH = 2.R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = R\sqrt 3 \].
b] Tam giác ABD vuông tại D nên nội tiếp đường tròn đường kính AB, bán kính \[r = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}\]
Xét tam giác OBC có \[OB = OC = R \Rightarrow \Delta OBC\] cân tại O
\[ \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {BOC}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{30}^0}}}{2} = {75^0}\]
Ta có: \[\widehat {OBD} + \widehat {OBC} = {180^0}\] [hai góc kề bù] \[ \Rightarrow \widehat {OBD} = {180^0} - \widehat {OBC} = {180^0} - {75^0} = {105^0}\]
Tứ giác OADB có \[\widehat {AOB} + \widehat {ADB} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \] Tứ giác OADB là tứ giác nội tiếp
\[ \Rightarrow \widehat {OAD} + \widehat {OBD} = {180^0}\] [tổng 2 góc đối của tứ giác nội tiếp]
\[ \Rightarrow \widehat {OAD} = {180^0} - \widehat {OBD} = {180^0} - {105^0} = {75^0}\].
Mà \[\widehat {OAB} + \widehat {BAD} = \widehat {AOD} \]
\[\Rightarrow {45^0} + \widehat {BAD} = {75^0} \Rightarrow \widehat {BAD} = {30^0}\]
[do \[\Delta OAB\] vuông cân tại O nên \[\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = {45^0}\]]
Gọi O là trung điểm của AB.
Tam giác OAD có \[O'A = O'D \Rightarrow \Delta O'AD\] cân tại O
\[ \Rightarrow \widehat {AO'D} = {180^0} - \widehat {O'AD} - \widehat {O'DA} \]\[\,= {180^0} - 2\widehat {O'AD} = {180^0} - {2.30^0} = {120^0}\]
\[ \Rightarrow {l_{AD}} = \dfrac{{\pi rn}}{{180}} = \dfrac{{\pi .\dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}.120}}{{180}} = \dfrac{{\pi R\sqrt 2 }}{3}\]
Ta có \[\widehat {BO'D} + \widehat {AO'D} = {180^0}\] [kề bù] \[ \Rightarrow \widehat {BO'D} = {180^0} - \widehat {AO'D} = {180^0} - {120^0} = {60^0}\]
\[ \Rightarrow {l_{DB}} = \dfrac{{\pi rn}}{{180}} = \dfrac{{\pi .\dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}.60}}{{180}} = \dfrac{{\pi R\sqrt 2 }}{6}\]
\[{l_{AB}} = \dfrac{{\pi rn}}{{180}} = \dfrac{{\pi \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}180}}{{180}} = \dfrac{{\pi R\sqrt 2 }}{2}\]