Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng BC và AD sao cho \[\overrightarrow {MB} = k\overrightarrow {MC} \] và \[\overrightarrow {NA} = k\overrightarrow {ND} \] với k là số thực khác 0 cho trước. Đặt α là góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {BA} \] ; β là góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {C{\rm{D}}} \]. Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để \[\alpha = \beta = {45^0}\].
Lời giải chi tiết
Kẻ MP // AB thì dễ thấy NP // CD. Từ đó, góc giữa \[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {BA} \] bằng góc giữa \[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {MP} \], đó là góc \[\widehat {PMN}\]. Góc giữa \[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {C{\rm{D}}} \] bằng góc giữa \[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {PN} \], đó là góc \[\widehat {PNM}\].
Vậy hai góc trên bằng nhau và bằng 45° khi và chỉ khi:
MP = NP và \[\widehat {MPN} = {90^0}\]
Từ đó, suy ra \[{{CP} \over {CA}}.AB = {{AP} \over {AC}}.C{\rm{D}}\] và \[AB \bot C{\rm{D}}\]
hay \[{{AB} \over {C{\rm{D}}}} = {{AP} \over {CP}}\] và \[AB \bot C{\rm{D}}\]
Mặt khác, ta có \[\overrightarrow {PA} = k\overrightarrow {PC} \Rightarrow {{AP} \over {PC}} = \left| k \right|\] .
Vậy giữa AB và CD có mối liên hệ
\[{{AB} \over {C{\rm{D}}}} = \left| k \right|\] và \[AB \bot C{\rm{D}}\]
thì góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {BA} \] bằng góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {MN} \] và \[\overrightarrow {C{\rm{D}}} \], cùng bằng 45°].