- LG câu a
- LG câu b
LG câu a
Chứng minh:
\[x - 4\sqrt {x - 4} = {\left[ {\sqrt {x - 4} - 2} \right]^2};\]
Phương pháp giải:
Phân tích biểu thức thành hằng đẳng thức:
\[{a^2} \pm 2ab + {b^2} = {[a \pm b]^2}\]
Áp dụng \[A=\sqrt {{A^2}} \] với \[A\ge 0\].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[VT=x - 4\sqrt {x - 4} \]
\[= \left[ {x - 4} \right] - 2.2\sqrt {x - 4} + 4\]
\[ = {\left[ {\sqrt {x - 4} } \right]^2} - 2.2\sqrt {x - 4} + {2^2} \]
\[= {\left[ {\sqrt {x - 4} - 2} \right]^2}=VP\]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
[Chú ý: VT: Vế trái, VP: Vế phải]
LG câu b
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:
\[A=\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } .\]
Phương pháp giải:
Phân tích biểu thức thành hằng đẳng thức:
\[{a^2} \pm 2ab + {b^2} = {[a \pm b]^2}\]
Áp dụng \[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\]
Với\[A \ge 0\] suy ra\[\left| A \right| = A\]
Với\[A < 0\] suy ra\[\left| A \right| =- A\]
Lời giải chi tiết:
\[A\] xác định khi: \[x - 4 \ge 0\] và \[x - 4\sqrt {x - 4} \ge 0\]
Ta có \[x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4\], khi đó:
\[\eqalign{
& x - 4\sqrt {x - 4} = \left[ {x - 4} \right] - 2.2\sqrt {x - 4} + 4 \cr
& = {\left[ {\sqrt {x - 4} - 2} \right]^2} \ge 0\text{[ luôn đúng ]} \cr} \]
Vậy với \[x \ge 4\] thì \[A\] xác định.
Ta có:
\[\eqalign{
& x + 4\sqrt {x - 4} = \left[ {x - 4} \right] +2.2\sqrt {x - 4} + 4 \cr
& = {\left[ {\sqrt {x - 4} + 2} \right]^2} \cr} \]
Suy ra:
\[A = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } \]\[+ \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } \]
\[ = \sqrt {{{\left[ {\sqrt {x - 4} + 2} \right]}^2}} \]\[+ \sqrt {{{\left[ {\sqrt {x - 4} - 2} \right]}^2}} \]
\[ = \left| {\sqrt {x - 4} + 2} \right| \]\[+ \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|\]
\[ = \sqrt {x - 4} + 2 + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|\]
+] Nếu
\[\eqalign{
& \sqrt {x - 4} - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 4} \ge 2 \cr
& \Leftrightarrow x - 4 \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 8 \cr} \]
thì: \[\left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right| = \sqrt {x - 4} - 2\]
Ta có: \[A = \sqrt {x - 4} + 2 + \sqrt {x - 4} - 2 \]\[= 2\sqrt {x - 4} \]
+] Nếu:
\[\eqalign{
& \sqrt {x - 4} - 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 4} < 2 \cr
& \Leftrightarrow x - 4 < 4 \Leftrightarrow x < 8 \cr} \]
Suy ra \[4\le x